Algebra Lineal
Páginas: 3 (729 palabras)
Publicado: 25 de noviembre de 2012
1) Hallar la ecuación de la proyección ortogonal r' de la recta r: [pic] sobre el plano [pic]x − 3y + 2z + 12 = 0 .
Solución:
Hallemos el plano [pic], perpendicular al plano [pic] quecontiene a la recta r. Esta condición nos lleva a que un punto de [pic] será A(1, 1, 2) (punto de la recta) y dos direcciones del mismo serán [pic] = (2, 1, 2) (la de la recta, por contenerla) y [pic]= (1, −3, 2) (la de un vector perpendicular a [pic]). Entonces:
[pic]= 0 [pic](2x-2+2y-2-6z +12)-(z-2+4y-4-6x+6) = 0 [pic]
[pic](2x+2y-6z+8)-(-6x+4y+z) = 0 [pic] 8x - 2y - 7z + 8 = 0.
Porlo tanto el plano [pic] es [pic] = 8x – 2y – 7z + 8 = 0.
La proyección ortogonal r’ de la recta r sobre el plano [pic] será el corte o intersección de[pic] con el plano hallado [pic]. Por tanto r'tiene ecuaciones implícitas:
r’ = [pic] .
2) Sean [pic] y Q dos puntos, y N un vector en [pic], sea p’ el punto de intersección de la línea a través de [pic] en ladirección de N, y el plano a través de Q perpendicular a N. Definimos la distancia de [pic] a aquél plano como distancia entre [pic] y p’. Encontrar la distancia cuando [pic]= (1, 3, 5) y N= (-1, 1, -1).Solución: [pic]
El plano que pasa por Q y normal N, N [pic] (x – Q) = 0
(-1, 1, -1) (x + 1, y - 1, z – 7) = 0 [pic] -x – 1 + y – 1 –z + 7 = 0 [pic] x – y + x – 5 = 0
La recta que pasapor [pic] y con dirección N es:
P= [pic] + Tn
= (1, 3, 5) + (-t, t, t)
P= (1 - t, 3 + t, 5 – t)
p’ debe satisfacer la ecuación del plano, por tanto
1 – t’ – 3 – t’ + 5 – t’ – 5 = 0 [pic]-2-3t’ = 0 [pic] t’ = [pic]
De modo que:
p’ = (1 [pic], 3 [pic], 5 [pic]) = (5/3, 7/3, 17/3)
[pic] = [pic] = [pic] = [pic] .
3) Con las notaciones del ejercicio anterior muestre que laformula general para la distancia es dada por
[pic]
Observando la figura es claro que [pic][pic][pic] es la proyección de Q-[pic] en la dirección correcta y es la distancia buscada, ya que...
Solución:
Hallemos el plano [pic], perpendicular al plano [pic] quecontiene a la recta r. Esta condición nos lleva a que un punto de [pic] será A(1, 1, 2) (punto de la recta) y dos direcciones del mismo serán [pic] = (2, 1, 2) (la de la recta, por contenerla) y [pic]= (1, −3, 2) (la de un vector perpendicular a [pic]). Entonces:
[pic]= 0 [pic](2x-2+2y-2-6z +12)-(z-2+4y-4-6x+6) = 0 [pic]
[pic](2x+2y-6z+8)-(-6x+4y+z) = 0 [pic] 8x - 2y - 7z + 8 = 0.
Porlo tanto el plano [pic] es [pic] = 8x – 2y – 7z + 8 = 0.
La proyección ortogonal r’ de la recta r sobre el plano [pic] será el corte o intersección de[pic] con el plano hallado [pic]. Por tanto r'tiene ecuaciones implícitas:
r’ = [pic] .
2) Sean [pic] y Q dos puntos, y N un vector en [pic], sea p’ el punto de intersección de la línea a través de [pic] en ladirección de N, y el plano a través de Q perpendicular a N. Definimos la distancia de [pic] a aquél plano como distancia entre [pic] y p’. Encontrar la distancia cuando [pic]= (1, 3, 5) y N= (-1, 1, -1).Solución: [pic]
El plano que pasa por Q y normal N, N [pic] (x – Q) = 0
(-1, 1, -1) (x + 1, y - 1, z – 7) = 0 [pic] -x – 1 + y – 1 –z + 7 = 0 [pic] x – y + x – 5 = 0
La recta que pasapor [pic] y con dirección N es:
P= [pic] + Tn
= (1, 3, 5) + (-t, t, t)
P= (1 - t, 3 + t, 5 – t)
p’ debe satisfacer la ecuación del plano, por tanto
1 – t’ – 3 – t’ + 5 – t’ – 5 = 0 [pic]-2-3t’ = 0 [pic] t’ = [pic]
De modo que:
p’ = (1 [pic], 3 [pic], 5 [pic]) = (5/3, 7/3, 17/3)
[pic] = [pic] = [pic] = [pic] .
3) Con las notaciones del ejercicio anterior muestre que laformula general para la distancia es dada por
[pic]
Observando la figura es claro que [pic][pic][pic] es la proyección de Q-[pic] en la dirección correcta y es la distancia buscada, ya que...
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