Algebra Lineal

Universidad Autónoma de la Ciudad de México

Problemario de álgebra lineal

Academia de Matemáticas Colegio de Ciencia y Tecnología

Aarón Aparicio Hernández

Al hacedor de sueños por creer en los jóvenes

Para Aarón Alberto por alegrarme la vida

A mi abuelita Porfiria por estar a mi lado durante mi infancia

A todos aquellos que me han acompañado en este viaje maravillosoÍndice general
1. Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 9

1.3. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.Aplicaciones de matrices inversas y determinantes . . . . . . . . . . . 27 1.6. Aplicaciones prácticas de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . 44 1.7. Distribución de temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.8. Balanceo de ecuaciones químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2. Vectores en el plano y en el espacio 57

2.1. Adición y sustracción de vectores . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2. Magnitud y dirección de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3. Ángulo formado por dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4. Producto vectorial de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.5. Planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3. Espacios Vectoriales 73

3.1.Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3. Combinación lineal y conjunto generador . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4. Conjunto linealmente independiente y linealmente dependiente . . . . 98 3.5. Base y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101 3.6. Matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 i

ÍNDICE GENERAL 4. Transformaciones lineales

ÍNDICE GENERAL 115

4.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2. El núcleo de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.3. La imagen de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . .. . . . 135 4.4. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5. Valores propios y vectores propios 149

5.1. Valores propios y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.2. Aplicaciones de valores propios y vectores propios . . . . . . . . . . . 160

Bibliografía

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Introducción
La presente obra, tiene como propósitoapoyar a los estudiantes de ingeniería del Colegio de Ciencia y Tecnología de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México (UACM), durante los semestres que he impartido la materia de álgebra lineal en la UACM, he notado que un porcentaje significativo de estudiantes tienen problemas con los contenidos del programa de estudios, y en varios casos se debe a que en la parte de sistemas de ecuaciones, nologra aprender a escalonar matrices. El Método de eliminación gaussiana es fundamental para abordar los temas subsecuentes, por consiguiente este material está pensado para que sirva de apoyo al estudiante y fortalezca su aprendizaje, en el aparecen una variedad de ejemplos resueltos con detalle, así como, algunos sin resolver y con alguna sugerencia. Es importante recalcar, que así como ungimnasta práctica varias horas para perfeccionar sus técnicas, el estudiante debiera de practicar con muchos ejemplos más y no conformarse con los que aparecen aquí, déjenme atreverme a citar unas palabras del matemático Alberto Barajas (el hacedor de sueños), jóvenes las matemáticas no se aprenden viéndolas decía en el salón de clases, se aprenden haciéndolas . . . el carpintero puede tener la mejor...