Algebra Lineal

Instituto de Ciencias Matemáticas

Algebra Lineal: Solución de la Segunda Evaluación

1. (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas a las siguientes proposiciones. Justifique formalmente susrepuestas.

a) Una transformación lineal cuyo núcleo es [pic] , es invertible
Sea [pic] una transformación lineal definida por [pic]
Si obtenemos su núcleo fácilmente nos damos cuenta que es [pic]pero como la [pic], [pic] no es invertible.

También es válido decir que el hecho que la transformación lineal sea inyectiva no necesariamente debe ser sobreyectiva

[pic]

b) [pic] [pic] esortogonal

Para que la matriz sea ortogonal, el producto interno entre sus columnas debe ser igual a [pic] y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma debe ser igual a [pic].Entonces, utilizando el producto interno canónico:

[pic]

[pic] [pic] [pic]

Por lo tanto la igualdad sólo se cumple para los valores de [pic] y [pic] encontrados y no para todos los reales.Se igual procedimiento para la segunda columna

[pic]
c) Sea [pic] un espacio vectorial real con producto interno. Sean [pic] dos vectores ortonormales. Si los vectores [pic] y [pic] sonortogonales, entonces [pic]

[pic]

Pero como los vectores [pic] y [pic] son ortonormales, sabemos que: [pic]

[pic]

[pic]

d) Si [pic] es un valor propio de [pic], entonces [pic]

Primero tenemosque darnos cuenta la matriz [pic] es ortogonal, eso se ve fácilmente porque el producto interno entre sus columnas es cero y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma es uno,entonces:

[pic]

También como [pic] es una matriz diagonal sus valores propios son los elementos de la diagonal principal, es decir:

[pic]

Finalmente:
[pic] [pic]


[pic]


2. (15puntos) Sea [pic] una transformación lineal tal que:
[pic] y [pic]

Determine:
a) [pic]
b) La matriz asociada a [pic] respecto a las bases canónicas de cada espacio

La mejor opción es...