Algebra Lineal
Páginas: 179 (44723 palabras)
Publicado: 19 de febrero de 2013
´ CUADERNOS DE ALGEBRA
No. 4 ´ Algebra lineal
Oswaldo Lezama
Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´ a
30 de noviembre de 2012
ii
Cuaderno dedicado a To˜ita, mi madre. n
Contenido
Pr´logo o 1. Matrices 1.1. Estructuras algebraicas b´sicas . . . . a 1.2. Matrices sobre anillos . . . . . . . . . . 1.3. Inversa de unamatriz y cambio de base 1.4. Matrices y operaciones elementales . . 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 . 1 . 8 . 13 . 17 . 18 22 22 27 30 35 49 50 50 54 58 63 66 73 75 75 83 86 90 95 103
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .. . . . .
2. Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 2.1. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Determinantes y funciones multilineales . . . . . . 2.3. Menores y cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ideales, rango y sistemas de ecuaciones . . . . . . 2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Producto tensorial 3.1. Productotensorial de espacios vectoriales . . . . . 3.2. Producto tensorial de transformaciones y matrices 3.3. Funciones multilineales y tensores . . . . . . . . . 3.4. Tensores sim´tricos, antisim´tricos y alternados . e e ´ 3.5. Algebras y producto tensorial . . . . . . . . . . . 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.. . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
4. Formas can´nicas o 4.1. Polinomios m´ ınimo y caracter´ ıstico . . . . . . . . . 4.2. Forma can´nica cl´sica . . . . . . . . . . . . . . . . o a 4.3. Formacan´nica racional . . . . . . . . . . . . . . . o 4.4. Forma can´nica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . o 4.5. Forma can´nica diagonal: valores y vectores propios o 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
ivCONTENIDO
5. Grupos de matrices 5.1. Grupos de matrices sobre cuerpos . . . . . . . . . . . . 5.1.1. El grupo lineal y algunos subgrupos destacados 5.1.2. Grupos cl´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.2. Grupos de matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . 5.3. El grupo elemental sobre anillos conmutativos . . . . . 5.3.1. Teorema de normalizaci´n de Suslin . . . . . . . o 5.3.2.Teorema de estabilidad de Suslin . . . . . . . . 5.4. Grupos cl´sicos sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . a 5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ ıa
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
107 . 107 . 107 . 111 . 115 . 117 . 117 . 120 . 125 .130 134
Pr´logo o
La colecci´n Cuadernos de ´lgebra consta de 10 publicaciones sobre los principales o a temas de esta rama de las matem´ticas y pretende servir de material para preparar a los ex´menes de admisi´n y de candidatura de los programas colombianos de doca o torado en matem´ticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´sico de a a los cursos de estructuras algebraicas y´lgebra lineal de los programas de maestr´ a ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´menes de candidatura, a saber: anillos y m´dulos, categor´ ´lgebra homol´gia o ıas, a o ca, ´lgebra conmutativa y geometr´ algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases a ıa dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ultimos 20 a˜os, ´ n y...
No. 4 ´ Algebra lineal
Oswaldo Lezama
Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´ a
30 de noviembre de 2012
ii
Cuaderno dedicado a To˜ita, mi madre. n
Contenido
Pr´logo o 1. Matrices 1.1. Estructuras algebraicas b´sicas . . . . a 1.2. Matrices sobre anillos . . . . . . . . . . 1.3. Inversa de unamatriz y cambio de base 1.4. Matrices y operaciones elementales . . 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 . 1 . 8 . 13 . 17 . 18 22 22 27 30 35 49 50 50 54 58 63 66 73 75 75 83 86 90 95 103
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .. . . . .
2. Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 2.1. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Determinantes y funciones multilineales . . . . . . 2.3. Menores y cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ideales, rango y sistemas de ecuaciones . . . . . . 2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Producto tensorial 3.1. Productotensorial de espacios vectoriales . . . . . 3.2. Producto tensorial de transformaciones y matrices 3.3. Funciones multilineales y tensores . . . . . . . . . 3.4. Tensores sim´tricos, antisim´tricos y alternados . e e ´ 3.5. Algebras y producto tensorial . . . . . . . . . . . 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.. . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
4. Formas can´nicas o 4.1. Polinomios m´ ınimo y caracter´ ıstico . . . . . . . . . 4.2. Forma can´nica cl´sica . . . . . . . . . . . . . . . . o a 4.3. Formacan´nica racional . . . . . . . . . . . . . . . o 4.4. Forma can´nica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . o 4.5. Forma can´nica diagonal: valores y vectores propios o 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
ivCONTENIDO
5. Grupos de matrices 5.1. Grupos de matrices sobre cuerpos . . . . . . . . . . . . 5.1.1. El grupo lineal y algunos subgrupos destacados 5.1.2. Grupos cl´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.2. Grupos de matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . 5.3. El grupo elemental sobre anillos conmutativos . . . . . 5.3.1. Teorema de normalizaci´n de Suslin . . . . . . . o 5.3.2.Teorema de estabilidad de Suslin . . . . . . . . 5.4. Grupos cl´sicos sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . a 5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ ıa
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
107 . 107 . 107 . 111 . 115 . 117 . 117 . 120 . 125 .130 134
Pr´logo o
La colecci´n Cuadernos de ´lgebra consta de 10 publicaciones sobre los principales o a temas de esta rama de las matem´ticas y pretende servir de material para preparar a los ex´menes de admisi´n y de candidatura de los programas colombianos de doca o torado en matem´ticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´sico de a a los cursos de estructuras algebraicas y´lgebra lineal de los programas de maestr´ a ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´menes de candidatura, a saber: anillos y m´dulos, categor´ ´lgebra homol´gia o ıas, a o ca, ´lgebra conmutativa y geometr´ algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases a ıa dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ultimos 20 a˜os, ´ n y...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.