Algebra Lineal

Álgebra lineal

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Álgebra lineal
El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuacionesdiferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc. La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

Conceptos básicos
Para ilustrar losconceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso. Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y elconjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de a un plano cartesiano XY y sistema de coordenadas XYZ. Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar. El producto por un escalar en sigue la regla: . En particular, . Así, por ejemplo, el vector (4.5,7/11, -8) es un vector del espacio corresponde es el espacio euclidiano provisto de un

La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si es mayor o menor de 0). Las funcionesRepresentación gráfica de la suma de dos vectores en .

de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen y todo escalar :

las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden avectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio que son las matrices de números reales de tamaño . El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente adeterminar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.

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Contexto general
De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores quesatisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).(métodos cuantitativos). Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:

A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjuntocualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo). Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones...