ALGEBRA LINEAL



a12 · · ·
..
.

a11


 a12
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 a1,n−1
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···
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.
···

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..
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..
.

an−1,n
ann

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


















ALGEBRA LINEAL
Autor
MARIO ERROL CHAVEZ GORDILLO
La Paz - Bolivia
10 de Mayo del 2013

S

g+

+

g

-

SA

B

u
W (s +)

W u(s -)

s

-

W ss(s0 )

s0

s+
W u(s0 )

-

DEDICATORIA
A mi Bebe

Brandon Chavez Zapata
AGRADECIMIENTOS
Deseo comenzar expresando mi m´as sincero agradecimiento a todas esas personas que, de forma
directa o indirecta, han prestado su ayuda para que este trabajo pudiera llevarse a t´ermino.
❃ En primer lugar quisiera mostrar toda mi gratitud a todos y a cada uno de los alumnosde Algebra Lineal del Primer Semestre de la gesti´
on 2013 de la Carrera de Inform´atica,
quienes con sus comentarios inspiraron nuevas redacciones para muchos de los ejemplos
aqu´ı expuestos as´ı como de sus soluciones y la incorporaci´
on de los problemas de aplicaci´on.
❄ Mi mas infinita gratitud a todos aquellos que de manera desinteresada comparten sus conocimientos en los diferentes sitiosWEB, sitios que fueron el pilar fundamental en la construcci´on
del presente texto, tanto as´ı que sin ellos hubiera sido imposible su divulgaci´
on.
❅ Por otra parte, quiero hacer una menci´
on especial a mi familia, mi esposa Elvira Zapata y a
mi hijo Brandon Chavez Zapata, a quienes estoy profundamente agradecido por su apoyo que
siempre me han brindado, y sobre todo, le doy las gracias por lapaciencia que me tuvieron
al esperar interminables horas las cuales he estado alejado de ellos mientras elaboraba estos
apuntes.
❆ Al Licenciado Zen´on Condori Gonz´
ales Director de la Carrera de Matem´
aticas quiero agradecerle el apoyo que me ha infundido, su generosa ayuda y sus ´
animos durante la redacci´on y
sobre todo, le doy las gracias por haberme dado la oportunidad de dictar el curso deAlgebra
Lineal para la FCPN-UMSA.
Doy las gracias a todos ellos y espero que estos apuntes sea merecedor de lo mucho que les debo.
Mario Errol Chavez Gordillo.

´Indice general

1. Matrices

1

1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Matrices. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1.Tipos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Matrices cuadradas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.4. Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.5. Transformacioneselementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.6. Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.7. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.8. Representaci´on matricial de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . .

39

1.9. M´etodo de eliminaci´on deGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.10. M´etodo de eliminaci´on de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.11. Sistemas homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2. La matriz Inversa

77

2.1. Matrices Invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.2.M´etodo de Escalonamiento de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.3. M´etodo de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

3. Determinantes

105

3.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

i

ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

ii

3.2. Propiedades de los determinantes . . . ....