Algebra Lineal

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APUNTES DE MATEMATICAS
IV
Autor:Jorge Garc´ıa Nieva
Tecnol´
ogico de Estudios Superiores
del Oriente del Estado de M´exico
29 de julio de 2010

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INTRODUCCION
El Algebra Lineal es el estudio de los espacios vectoriales y
de los conceptos derivados de ellos, como son las combinaciones
lineales, los conjuntos bases y la representaci´on de los elementos
de un espacio vectorial mediante ellas,las bases ortogonales , las
transformaciones lineales y sus representaci´on matricial, los espacios asociados a los autovalores y vectores propios de una transformaci´on lineal(descomposici´on espectral), etc.
El conocimiento de los conceptos anteriores y su interrelaci´on,
proporciona a los estudiantes de las ´areas de ingenier´ıa una s´olida
base para trabajar en la modelaci´on matem´atica delos fen´omenos
f´ısicos dentro de sus respectivas ´areas.En efecto,la teor´ıa de los
espacios vectoriales tiene amplias aplicaciones , interviniendo por
ejemplo en la resoluci´on matem´atica de problemas de optimizaci´on,
como sucede con el m´etodo simplex en la Ingenier´ıa Industrial, o
bien en el tratamiento simplificado y elegante de la teor´ıa de la
regresi´on lineal y multilineal, laestad´ıstica avanzada , la teor´ıa
del control de calidad, la teor´ıa de la simulaci´on, la teor´ıa de las
ecuaciones diferenciales,etc.
Por lo anterior, es muy importante proporcionar a los estudiantes material did´actico de calidad, que no se reduzca a la reproducci´on sin sentido de c´alculos, sino que tenga un nivel adecuado
de la exposici´on de la parte te´orica. Es con este fin como el autor
de estasnotas ha recolectado una serie de resultados importantes
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dentro del Algebra
Lineal que han sido considerados tradicionalmente como fundamentales por los especialistas de esta ´area y que
son consideradas b´asicas dentro de un curso b´asico de eta asignatura.
Estas notas comienzan con una exposici´on acerca de los n´
umeros

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complejos, lo cual es importante para abordar el tema de las matricesortogonales y sus aplicaciones en la descripci´on geom´etrica de fen´omenos f´ısicos,am´en de que interviene en el tratamiento
algebraico de la diagonalizaci´on de la representaci´on de transformaciones lineales mediante matrices y su ulterior aplicaci´on en el
tratamiento de sistemas din´amicos.
El cap´ıtulo 2,trata de las matrices , sus propiedades y conceptos fundamentales asociados.Losconceptos estudiados en este
cap´ıtulo tienen relaci´on directa con el cap´ıtulo 3, el cual trata sobre
los sistemas lineales y su resoluci´on mediante matrices, expresado esto en el procedimiento de Gauss-Jordan , en el m´etodo de
Cramer y en el m´etodo de la inversa de la matriz de coeficientes
de un sistema lineal. Cabe notar que los conceptos estudiados en
las unidades 2 y 3 son de ampliaapliacaci´on en varios campos dentro de la ingenier´ıa,como por ejemplo,las ecuaciones diferenciales,
la Investigaci´on de operaciones y la estad´ıstica multivariable. En
la unidad 4 se estudian los espacios vectoriales, los cuales representan una generalizaci´on de la geometr´ıa plana y del espacio a
espacios multidimensionales, as´ı como a espacios con objetos no
necesariamente geom´etricos, como lo son losespacios de matrices o de soluciones de un sistema de ecuaciones ya sea algebraico
lineal o de ecuaciones diferenciales lineales , y que en ingenier´ıa
son de suma importancia para estudiar fen´omenos o sistemas de
tipo lineal. En la unidad 5 se estudian las transformaciones lineales, las cuales aparecen en la pr´actica en el an´alisis de objetos
que se pueden ampliar, reducir,transladar o rotar;desde luego,su
aplicaci´on a la rob´otica es ineludible,as´ı como en la programaci´on
de gr´aficos.

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´Indice general
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Introducci´on
1 N´
umeros Complejos complejos.
1.1. Definici´on y origen de los n´
umeros complejos. . .
1.2. Operaciones fundamentales con n´
umeros complejos
1.3. Potencias de “i”, m´odulo o valor absoluto de un
n´
umero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . ....