Algebra lineal

s s lineale ne ecuacio s de Sistema

´ndice general I

1. Sistemas de ecuaciones lineales e o 2. M´ todo de sustituci´ n e o 3. M´ todo de igualaci´ n 4. M´ todo de eliminaci´ n e o o 5. Conclusi´ n

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Sistemas de ecuaciones lineales
En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, es decir, de dos ecuaciones y dos inc´ gnitas. Estos sistemas tienenla siguiente forma: o

Sistema

de ecua c

iones li nea

les

a11 x + a12 y = b a21 x + a22 y = 1 b2

2

El problema a resolver es encontrar el valor de las inc´ gnitas x, y tales que las dos o ecuaciones sean verdaderas. En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes: ´ 1. El sistema tiene una unica soluci´ n. o 2. El sistema no tienesoluci´ n. o 3. El sistema tiene m´ s de una soluci´ n (infinidad de soluciones). a o Los m´ todos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se ver´ n a continuaci´ n, e a o sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma soluci´ n. o

Antes de revisar los m´ todos podemos mencionar un criterio que nos permitir´ saber e a ´ ´ si el sistema tiene o no, una unica soluci´ n: o

´ ´ n unicaSolucio El siste b y = 1 x + a12 a11 b y = 2 x + a22 a21 ´ i y solo s ´ cion si solu ´ a unica tiene un a21 = 0 a22 − a12 a11 ma

Si a11 a22 − a12 a21 = 0, y 1. a11 , a12 , b1 son m´ ltiplos de a21 , a22 , b2 , respectivamente. Entonces el sistema tiene u una infinidad de soluciones. 2. a11 , a12 son m´ ltiplos de a21 , a22 respectivamente, pero b1 no lo es de b2 . Entonces u el sistema no tienesoluci´ n. o

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Ejemplos: Ejemplo 1 Consideremos el sistema 2x + 3y = 1 3x − y = −1 ´ como (2)(−1) − (3)(3) = −2 − 9 = −11 = 0, entonces el sistema tiene una unica soluci´ n. o Ejemplo 2 Consideremos el sistema 3x + 4y = 4 6x − 2y = 2 como (3)(−2) − (6)(4) = −6 − 24 = −30 = 0, entonces el sistema tiene una ´ unica soluci´ n. o Ejemplo 3 Consideremos el sistema 2x + y = 6 4x + 2y = 1

´ como(2)(2)−(4)(1) = 4−4 = 0, entonces el sistema NO tiene una unica soluci´ n, o pero como 4x + 2y es el doble de 2x + y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO tiene soluci´ n. o Ejemplo 4 Consideremos el sistema 3x − 3y = 2 x−y = 5 ´ como (3)(−1) − (−3)(1) = −3 + 3 = 0, entonces el sistema no tiene una unica soluci´ n. Y como la primera ecuaci´ n es el triple de la segunda, pero 2 no es el o otriple de 5. Tenemos que el sistema no tiene soluci´ n. o Ejemplo 5 Consideremos el sistema 1 1 x + y = −3 2 3 3 x + y = −1 2 1 3 1 ´ o como ( )(1) − ( )( ) = 0, entonces el sistema NO tiene una unica soluci´ n. Y 2 3 2 como la segunda ecuaci´ n es el triple de la primera, incluyendo la constante, por o lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

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´ ´ Metodo desustitucion
El m´ todo de sustituci´ n trabaja de la siguiente manera: e o 1. De la primera ecuaci´ n se despeja una inc´ gnita, digamos x. o o 2. Se sustituye la inc´ gnita despejada en la segunda ecuaci´ n. o o 3. Se reduce la segunda ecuaci´ n, y se encuentra el valor de y. o 4. Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuaci´ n del paso 1, y se encuentra x. o Es posible cambiar de inc´ gnita. o5

Ejemplos:

o 2.1 Ejempl sistema olver el Res = 1 x+y = 1 x−y

Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´ n a x, entonces x = 1 − y. o Paso 2 Sustituimos a x = 1 − y, en la segunda ecuaci´ n: o x−y = 1 (1 − y) − y = 1

Paso 3 Reducimos la ecuaci´ n anterior: o (1 − y) − y 1 − 2y 1−1 0 de donde y = 0. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuaci´ n del paso 1, x = 1−y.Entonces o x = 1 − (0) = 1. Paso 5 Por tanto la soluci´ n del sistema es: o x = 1 y = 0 = = = = 1 1 2y 2y

Resolve r

Ejempl o 2.2 el sistem a 2x + y = 3 3x + 2y = 2

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Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´ n a x, entonces x = o Paso 2 Sustituimos a x = 3−y , en la segunda ecuaci´ n: o 2 3x + 2y = 2 3−y 3( ) + 2y = 2 2

3−y . 2

Paso 3 Reducimos la ecuaci´ n anterior: o 3( 3−y ) + 2y 2...