Algebra linial

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. U.P.M.

Curso 04−05

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

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Curso 04−05

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Formas reducidas y escalonada de una matriz 1) Encuentre una sucesión de matrices elementales E1, E2,..., Ek tal que Ek ... E2 E1 A sea una matrizescalonada, donde:  1 1 0  1 -1   1 -1 1 2 1  a) A= 0 2 1 

   -1 0 1 

b)

A= -2 2 

   3 -3 

c)

A= 3 -3 8 10 3 

   -2 2 -1 -3 -4 

2) Halle el rango, mediante la reducción de matrices, de las matrices n+1 1 n  n+1 1 1  An= 1

  1

n+1 1

1 

n+1 



y

Bn=

  

1 0

n+1 1 0

  según los valores del parámetro real n. nEstudio y resolución de sistemas lineales 3) Estudie, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, la compatibilidad de los siguientes sistemas según los distintos valores de los parámetros reales. Resuelva, cuando sea posible, los que dependan de un único parámetro: x − 3y + 5z = 2 x + y + az = 1 a2 x + ay + z = 1 a) 2x − 4y + 2z = 1 b) x + ay + z = 1 c) x + ay + z = a 5x − 11y + 9z = k ax + y + z =1 x + ay + a2 z = 1 d) ax + by + z = 1 ax + y + bz = 1 ax + y + z = b e) ax + by + 2z = 1 ax + (2b−1) y + z = 1 ax + by + (b+3) z = 2b−1

4) Resuelva, por el método de eliminación de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones: x − 3y + z = −2 2x + 3y − z = 0 x + y + z + t = −2 3x + y − z = 10 a) 2x + y − z = 6 b) x − y + z = 0 c) x − y − z + t = −4 d) x − 2y − z = −2 x + 2y + 2z = 2 x + 9y −5z = 0 x − y + z + t = −6 −x+y+z=0 x+y−z+t=0 2x − y − 3z = 7 5) Elimine los parámetros en las siguientes ecuaciones paramétricas: x1 = 1 + a x1= a + 2b − c x1 =1 − 3a + b x1= a + 2 b a) x2 = 2 + a d) x2= a − b b) x2 = a − 2b c) x2= b + c x3 = 1 − 3a x3= 3b x3 = 2 + b x3= a + 3 c x4= b + c x5= a − b + 2c Cálculo de la inversa de una matriz 6) Halle, por el procedimiento de Gauss-Jordan, la inversa,si existe, de cada una de las siguientes matrices:  1 a a 2 a3  1 -1 1 1 -1 2 1 0 0   0 1 a a2  2 1 2 2 1 1 a 1 0 a) b) c) d) 0 0 1 a   0 0 1 3 0 3 b c 1  0 0 0 1 x1= a + b + 2c x2= a + 2b + 3c x3= a + c x4= 0 x5= a − b

e)

  

  

  

  

  

  

e)

1  2 3 4 

0 1 3 4

0 0 1 4

0  0  0  1

f)

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

g)

0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1

1 2 3 4 5

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Ecuaciones matriciales 7) Sea A=

 1 2  ; halle el subconjunto S={ B∈M / AB=0 }, según el valor del parámetro real m.  2x2 3 m

8) Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:
 − 2 −1 1  X= 0 2  1 0 1 2  0 1 −1 

a)  

  1 -2 2   1 0 1  1  0 1 0  =  -2 1 0 ; c)  -1 -1 -2 0  ; b) X     0  1 1 1 0  1 -1 1   1 3 -2  0
1 1

1 2 -1 -1

  -2 -2 1 4  X=  0 3 0 -2     2 0 -1 -2  -1 

-4 6 2 2

Aplicaciones 9) Determine la ecuación de la parábola, con eje vertical y en el plano XY, que pasa por los puntos P = (1, 4), Q = (−1, 6) y R = (2, 9) 10)Encuentre la ecuación del plano, en el espacio XYZ, que pasa por los puntos P = (1, 1, 2), Q = (1, 2, 0) y R = (2, 1, 5) 11) Encuentre todos los polinomios p(x) = ax2 + bx + c con coeficientes reales tales que: a) p(1) = 2, p(−1) = 4, p(3) = 16 b) p(1) = 0, p(−1) = 0.

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ESPACIOS VECTORIALES Espacios vectoriales 1) En elconjunto ℜ2 se definen las operaciones siguientes: (α1, α2) + (β1, β2) = (α1 + β1, α2 + β2) α ∗ (α1, α2) = (α ∗ α1, 0) ¿Es ℜ2 un espacio vectorial sobre ℜ respecto de las citadas operaciones? Subespacios vectoriales 2) Averigüe si los vectores a = (1, −1, 0) y b = (2, −3, 1) pertenecen al espacio vectorial generado por el conjunto de vectores {v1 = (2, 5, 1), v2 = (3, 4, 1), v3 = (5, 9, 2)}. 3)...