Algebra matrices

ALGEBRA MATRICIAL



ALGEBRA MATRICIAL

Las matrices son arreglos de números, tiene una aplicación potencial siempre que una información numérica se pueda acomodar de manera significativa en bloques rectangulares. La determinación de forma para describir situaciones en matemáticas y economía, conduce al estudio de arreglos rectangulares de números, como ejemplo seconsideran los sistemas de ecuaciones lineales.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
Definición:Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

10 12 16
5 9 7

Una matriz que tiene el mismo número de columnas que de renglones se llama una matriz cuadrada. Esto es una matriz n × m es cuadrada si y solo si m = n.
En una matriz cuadrada de orden n las entradas a11, a22, a33, están sobre la diagonal queva desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha y dice se constituyen como la diagonal principal.
Ejemplo:
Determine el tamaño de la siguiente matriz

2
-6 5 3 7

4 7 5 7 5
-9 -8 -8 -6 6


SUMA DE MATRICES Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Para definir la suma de matrices y la multiplicación por un escalar, tenemos que seguir las propiedades relacionadas conestas operaciones.

Propiedades De La Suma De Matrices
A + B = B + A (propiedad conmutativa)
A + (B+C) = (A+B) + C (propiedad asociativa)
A + 0 = 0 + A = A (Propiedad identidad)
Lo que tenemos que hacer en la suma y multiplicación es multiplicar o sumar cada termino de la matriz primera por el mismo termino de la matriz segunda aplicando las tres propiedades de la suma de matrices.Ejemplo:


5 4 -4
5 -6 7



Realice la siguiente suma A + B

10+5 12+4 16+(-4)
5+5 9+(-6) 7+7

15 16 12
10 3 14

10 12 16
5 9 7

Respuesta

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Para la multiplicación por un escalar se multiplica porcada término de la matriz el valor a multiplicar

Ejemplo:
10 12 16

5 9 7
30
36 48

15 27 21
3(10) 3(12) 3(16)

3(5) 3(9) 3(7)MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Definir la multiplicación de matrices y considerar las propiedades asociadas nos permite expresar un sistema como una sola ecuación matricial por medio de la multiplicación de matrices, para cual primero se debe multiplicar el tamaño de las dos matrices a multiplicar, simplificando valores semejantes, siempre y cuando las matrices no sean cuadradas.
Después de obtenerel tamaño de la matriz se procede a multiplicar los términos de acuerdo a la cantidad de renglones por la cantidad de filas.
1 0 -3
0 4 2
-2 1 1
Ejemplo:
2 1 -6
1 -3 2

AB= c11
c12 c13

c21 c22 c23

C11= (2) 1+ 1 (0) + (-6) (-2) = 14
C12= (2) 0+ 1 (4) + (-6) (1) = -2
C13= (-3) 2+ 1 (2) + (-6) (1) = -10
C21= (1) 1+ 0 (-3) + (2) (-2) = -3
C22= (0) 1+ 4 (-3) + (1) (2) = -10C23= (-3) 1+ 2 (-3) + (1) (2) = -7

AB= 14 -2 -10
-3 -10 -7

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE LA REDUCCIÓN DE MATRICES

En el desarrollo del método de reducción primero se resolverá un sistema por el método usual de eliminación como es el método de Gauss Jordán. Después se obtendrá la misma solución con el uso de matrices.

Ejemplo:
3x – y = 1 Ordenamos x + 2y = 5x + 2y = 5 3x – y = 1

Aplicamos el método de Gauss Jordán para formar el diagonal principal cuyos valores queden en 1, y obtenemos las respuestas siguientes

x + 0 = 1 x=1 y=2
0 + y = 2

Para obtener el resultado de las matrices tenemos que utilizar lo siguiente:

Operaciones Elementales Con Renglones

Intercambio...