Algebra Matrices


ÁLGEBRA DE MATRICES


Autores: Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu), Juan Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Ángel Alejandro Juan Pérez (ajuanp@uoc.edu).


ESQUEMA DE CONTENIDOS



Definición de matriz

Tipos de matrices






Álgebra de Matrices





Operaciones con matrices
Algunas Aplicaciones






Suma, producto y producto por un escalar




Cálculo conMathcad

Modelo metalúrgico








Matriz de adyacencia
Matrices Input Output





INTRODUCCIÓN


El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, lasingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra. Para obtener información sobre la historia del álgebra de matrices recomendamos [W5].


En este math-block presentamos algunos tipos de matrices, analizamos las principales operaciones con matrices y damos algunasaplicaciones del álgebra de matrices. Además, mostramos las posibilidades que nos brinda el programa Mathcad para el cálculo matricial. Para completar el estudio sobre este tema, recomendamos la lectura de los math-blocks sobre determinantes, matriz inversa y sistemas de ecuaciones lineales.



OBJETIVOS

Conocer algunos tipos de matrices.
Conocer las principales operaciones con matrices.
Conoceralgunas aplicaciones del cálculo matricial.
Conocer las facilidades del cálculo matricial usando el programa Mathcad.




CONOCIMIENTOS PREVIOS


Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks introductorios a Mathcad.




CONCEPTOS FUNDAMENTALES


Q Definición de matriz

Los arreglos rectangulares de números como el siguiente


 8  1 0    5 0.5 3

recibenel nombre de matrices. Más formalmente, dado un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de nm elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, de palabras de unalfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden nm (n filas y m columnas) por M nm .

En general, para representar una matriz A de orden nm se escribe

 a11

 a21
A  
a12
a22
… a1m 

… a2m 

 % 
 
 an1
an2
… anm 


También se escribe A=(aij ) ( i  1,..., n y
j  1,..., m) para indicar que A es la matriz de orden
nm que tiene elementos
aij . Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos
con la misma letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en la
matriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna. Es decir, el elemento aij es
aquel que se encuentra en la fila i y lacolumna j de la matriz A. Por ejemplo, si denotamos por M la matriz inicial, entonces el orden de M es 23 (2 filas y 3 columnas) y sus elementos
son: m11  8, m12  1, , m13  0, m21  5,
m22  0.5 y m23  3.

Dos matrices A=( aij ) y B=( bij ), de orden nm, son iguales si
aij
 bij para todo
i  1,..., n y
j  1,..., m. Es decir, dos matrices son iguales si los elementos que ocupanla misma posición en ambas matrices coinciden.


Q Algunos tipos de matrices

Matriz Cuadrada: Es aquella que tiene igual número n de filas que de columnas (n=m). En ese caso se dice que la matriz es de orden n. Por ejemplo, la matriz
 1 3

 2




es cuadrada de orden 3.
A   0
 4
3 3 
0.2 1 

Denotaremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n por
M n .
Así, en el...