Algebra Matricial

APUNTES DE ÁLGEBRA MATRICIAL PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE ECONOMETRÍA Julio César Alonso C.

No. 11 Diciembre de 2006

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DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA

APUNTES DE ECONOMÍA

ISSN 1794-029X No. 11, Diciembre de 2006

Editor Julio César Alonso C. jcalonso@icesi.edu.co

Asistente de Edición Vanessa Ospina L.

Gestión EditorialDepartamento de Economía – Universidad Icesi

www.icesi.edu.co Tel: 5552334 ext: 207. Fax: 5551441 Calle 18 #122-135 Cali, Valle del Cauca – Colombia

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APUNTES DE ÁLGEBRA MATRICIAL PARA UN CURSO INTRODUCTORIO DE ECONOMETRÍA Julio César Alonso C1.

Diciembre de 2006

Resumen

Este documentopresenta una breve introducción a los conceptos básicos de álgebra matricial que forman la base de un curso introductorio de Econometría de pregrado. Se discuten conceptos como la independencia lineal, operación de matrices y resultados importantes para la estimación matricial de modelos lineales por el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios. Este documento está dirigido principalmente a estudiantes depregrado de economía, pero por la sencillez del lenguaje, puede ser de utilidad para cualquier estudiante o profesional interesado en repasar los conceptos básicos de álgebra matricial.

Palabras Clave: Álgebra matricial, operaciones de matrices, matriz inversa, Introducción a la econometría.

Apuntes de Economía es una publicación del Departamento de Economía de la Universidad Icesi, cuyafinalidad es divulgar las notas de clase de los docentes y brindar material didáctico par la instrucción en el área económica a diferentes niveles. El contenido de esta publicación es responsabilidad de su autor.

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Profesor del Departamento de Economía y Director del Centro de Investigación en Economía y Finanzas (CIENFI) de la Universidad Icesi, jcalonso@icesi.edu.co.

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Introducción

El concepto de matrices fue inicialmente desarrollado en el siglo XVII, asociado a la manipulación de gráficos y soluciones de ecuaciones lineales simultáneas. Hoy en día la aplicación de las matrices y sus operaciones están ligadas a áreas tan diversas como la física, gráficos de computador, laeconomía, los métodos estadísticos, la teoría de juegos, redes, encriptología, etc.

Una matriz es una forma eficiente de ordenar información en columnas y filas. Por ejemplo, consideremos una base de datos que contiene información de ventas, costos y utilidades mensuales para dos empresas (empresa 1 y 2). La información de un mes se puede ordenar fácilmente en una matriz de la siguiente forma:

Empresa Ventas Costos Utilidades   M   Empresa 1 a b c    Empresa 2  d e f  

(A2.1)

Generalmente, se omiten los nombres que toman cada una de las columnas y filas de las matrices, es decir, (A2.1) se puede reescribir como

a b M  d e

c f 

(A2.2)

El tamaño de una matriz está determinado por el número de filas y de columnas; así, se dice que la matriz M es una matriz dedimensiones 2  3 (2 filas por 3 columnas). Una forma rápida de escribir esto es M 23 . En general una matriz puede tener n filas y m columnas, y se representa así:

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Anm

 a11  a1m              aij    i 1,n; j 1,,m  an1  anm    

(A2.3)

En el casoespecial cuando m  1 , la matriz A se conoce como un vector columna y se denota por A . Si n  1, la matriz A se conoce como un vector fila2. Cuando el número de filas y de columnas es el mismo ( n  m ), la matriz A es llamada matriz cuadrada de orden n . Si n  m  1 , entonces A es conocido como un escalar (lo que coloquialmente se conoce como un número). En el caso de las matrices, se dice que A...