Algebra Proposiciones

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

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CAPÍTULO I ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
1.1 PROPOSICIÓN Proposición (o enunciado) es una afirmación verbal a la que puede asociarse un valor de verdad, es decir, puede ser verdadera o falsa, por ejemplo:  Hace calor  José estudia  El es feliz  Oruro es una ciudad con clima frío Las proposiciones pueden ser simples como las de los ejemplos anteriores o compuestas,que se pueden unir a través de conectores (conectivas)  José estudia y es feliz  Hace calor o estoy muy abrigado  Si llueve entonces me mojo El álgebra proposicional es la representación del lenguaje usual tomando como elemento básico una representación matemática de las frases declarativas que definen las operaciones básicas del álgebra proposicional. Para representar proposiciones seutilizarán letras: p, q, r, s,….Las operaciones básicas son:  Negación  Conjunción.  Disyunción  Disyunción exclusiva  Condicional  Bicondicional  Negación conjunta ~ (⌐)

→ ↓

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ÁLGEBRA I

1.2 NEGACIÓN ~p Permite negar un enunciado o proposición, su tabla de verdad es falsa cuando p es verdadera y viceversa:  No p p ~p  No es verdad que p V F  Es falso que p F V  No es cierto que p1.3 CONJUNCIÓN p q Dos proposiciones pueden ser unidas con la conjunción, lo cual puede interpretarse como: p y q  p pero q  p sin embargo q  p no obstante q  p a pesar de q p V V F F q V F V F

V F F F

La tabla de verdad de la conjunción es verdadera, solamente cuando los dos enunciados son verdaderos. 1.4 DISYUNCIÓN p q La disyunción permite unir dos proposiciones con el equivalente ala letra o p o q  o p o q o ambas cosas  como mínimo p o q

p V V F F

V V V F

q V F V F

La tabla de verdad de la disyunción es falsa solamente cuando los dos enunciados son falsos. 1.5 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA p q La disyunción exclusiva equivale a unir dos enunciados con un conector equivalente a p o q pero no ambos, su tabla de verdad es verdadera cuando un enunciado es verdadero y elotro falso o viceversa. p V V F F Q V F V F

F V V F

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1.6 CONDICIONAL (IMPLICACIÓN) p→q Es una relación de causa a efecto  p implica a q  si p entonces q  p es suficiente para q  q es necesario para p  q si p p V V F F → V F V V q V F V F

La tabla de verdad del condicional tiene valor falso cuando el primer enunciado es verdadero y el segundo falso.1.7 BICONDICIONAL (DOBLE IMPLICACIÓN) p↔q Se lee p si y sólo si q, su tabla de verdad exige que ambos enunciados sean verdaderos o ambos falsos para ser verdadera.  p si y sólo si q  p necesario y suficiente para q p V V F F ↔ V F F V q V F V F

1.8 NEGACIÓN CONJUNTA p↓q Se lee ni p ni q y es verdadero cuando p es falso y q es falso p V V F F ↓ F F F V q V F V F

1.9 TABLAS DE VERDAD DEPROPOSICIONES Cuando se construye una tabla de verdad se puede clasificar la misma, si la última columna tiene todos los valores de verdad verdaderos, se trata de una Tautología, si son falsos es una Contradicción y, si los valores de verdad están combinados una Contingencia.

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Para asignar los valores de verdad a una proposición que contiene dos enunciados p y q empiece por dar a pdos valores verdaderos y dos falsos e intercale entre verdadero y falso los de q. Si se tienen tres enunciados p, q, r asigne a p cuatro valores verdaderos y luego cuatro falsos, a q dos verdaderos, dos falsos, dos verdaderos y luego dos falsos, finalmente intercale los valores de verdad de r entre verdadero y falso. Siguiendo ésta lógica no existe ninguna dificultad para construir una tabla deverdad de n enunciados, respete el orden alfabético de las letras para empezar a asignar los valores de verdad correspondientes. Nótese que el número de líneas de una tabla de verdad vendrá dado por el número dos elevado al número de enunciados de la tabla. Así por ejemplo, una proposición de cuatro enunciados tendrá 24 =16 filas Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones e...