Algebra psicologica

TEMA 1 PRELIMINARES

´ Indice
1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. 1.1.2. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.3. 1.3.1. 1.3.2. 1.4. 1.4.1. 1.4.2. Conjunto de las Partes . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .´ Composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Relacion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Composicion e inversa de Funciones . . . . . . . Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 6 6 7 9 10 11 11 14 15 16 16

Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

Relaciones internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.

Conjuntos

´ Definicion 1.1 (Intuitiva). Un conjunto es una reunion en un todo de de´ terminados objetos bien definidos y diferentes entre s´. ı Llamamos elementos a los objetos que lo forman. Para que un conjunto est´ bien definido, portanto, deben darse los sie guientes: 1

2 Requisitos

Preliminares

¨ ´ No debe existir ambiguedad en la definicion de de los elementos. Todos los elementos deben ser diferentes. El propio conjunto no puede ser un elemento de s´ mismo. ı ´ El orden de definicion de sus elementos es intrascendeste. Si a es un elemento del conjunto A, decimos que a pertenece a A y lo denotamos por a ∈ A. Encaso contrario lo denotamos por a ∈ A. / Los conjuntos generalmente se definen: ´ Por extension, enumerando uno a uno todos sus elementos, {a, b, c, d} ´ Por comprension, sus elementos quedan descritos de una forma impl´cita, {x ∈ N | x es primo } ı Ejemplo 1.2. Los principales conjuntos num´ ricos ya son conocidos de cure ´ sos anteriores. As´, representamos por N al conjunto de todos los numeros ı´ ´ naturales, Z a los numeros enteros, y Q y R los numeros racionales y reales, respectivamente. Ejercicio 1.3. ¿Cu´ ntos elementos tienen los siguientes conjuntos? a 1. A = {a, {b, c}, {d}}. 2. B = { x ∈ Q | x, y ∈ N , 1 ≤ x < 4, 0 < y ≤ 4}. y Conjunto vac´o Lo definimos como el conjunto carente de elementos, es ı decir, ∅ = {}. Definicion 1.4 (Subconjuntos). Decimos que A es un subconjunto de B (o´ que A est´ inclu´do en B), que representamos por A ⊆ B, si se satisface a ı Es decir, todo elemento de que e A es elemento tambi´ n de x ∈ A =⇒ x ∈ B Proposicion 1.5. Para todo conjunto A se cumple A ⊆ A y ∅ ⊆ A. ´ ´ Demostraci´ n. Probar que A ⊆ A es (super)evidente por la definicion 1.4, o puesto que todo elemento de A es de A. En cuanto a la prueba que ∅ ⊆ A no es tan evidente, aunque s´ estriı ´ vial. La dificultad estriba en que no podemos elegir ningun elemento del conjunto vac´o para comprobar que est´ en A. Por eso mismo se razona por ı a ´ reducci´ n al absurdo. Si la afirmacion fuese falsa, es decir ∅ no fuese subcono ´ junto de A, entonces, siguiendo la deficion 1.4, debe existir un elemento de ∅ que no estar´a en A, y eso ¡es imposible! (o absurdo) porque ∅ no tiene ıelementos. QED

B (no necesariamente al rev´ s). e

1.1 Conjuntos

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´ Nota. La proposicion anterior nos dice que todo conjunto tiene al menos estos dos subconjuntos que se denominan subconjuntos triviales. Al resto de los subconjuntos de A los llamamos subconjuntos propios. Definicion 1.6 (Igualdad). Decimos que A = B si tienen exactamente los ´ mismos elementos, es decir, si: x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B Loanterior se traduce diciendo que todo elemento de A es elemento de B, y viceversa, todo elemento de B es tambi´ n elemento de A. e ´ Proposicion 1.7 (Principio de doble inclusion). La igualdad de conjuntos se ´ puede expresar equivalentemente como una doble inclusi´ n: o A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A

1.1.1. Conjunto de las Partes
Definicion 1.8. Dado un conjunto A, llamaremos partes de A, P(A), al...