Algebra Resumen
Indice
Revisión de Matrices............................................................................................................. 2 Práctica 1: Espacios Vectoriales ........................................................................................... 3 Práctica 2: Producto Interno................................................................................................. 4 Práctica 3: Proyecciones y Matrices de Proyección ............................................................. 5 Práctica 4: Transformaciones Lineales ................................................................................. 8 Práctica 5: Autovalores y Autovectores .............................................................................. 10 Práctica 6: Diagonalización dematrices hermíticas, formas cuadráticas, DVS .................. 12 Ecuaciones Diferenciales.................................................................................................... 15 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales ................................................................. 18
1
con
Revisión de Matrices
1) Propiedades de las matrices
a. b. c. d. e.2) Propiedades de los determinantes
Sean a) b) : , , , , , ,
c) Si una fila de A se suma a k.(otra fila) para producir una matriz B, d) Si dos filas de A se intercambian de lugar para producir B, e) Si una fila de A se multiplica por k para producir B, f) Si toda la matriz A se multiplica por k para producir B, g) Si es una matriz triangular, .
3) Espacios fila, nulo y columna de matricesSea :
es inversible Sean a) b) c) Si d) Si e) y
es inversible , entonces: (son iguales si (son iguales si )
4) Matrices equivalentes y semejantes
Matrices equivalentes: dos matrices A y B son equivalentes si existen otras dos matrices E y F regulares tal que . Dos matrices equivalentes pueden pensarse como dos descripciones si y solo 2 de una misma TL, pero con respecto a bases distintas.Matrices semejantes: dos matrices cuadradas A y B son semejantes (notamos si existe una matriz P invertible tal que ó . Dos matrices semejantes pueden
pensarse como dos descripciones de un mismo operador lineal, pero con respecto a bases distintas. Estas dos matrices cumplen que: a) b) c) d)
Práctica 1: Espacios Vectoriales
1) Propiedades de los subespacios
es un subespacio vectorial delespacio
2) Independencia lineal
es una combinación lineal de son todos nulos. es LI si y Dos vectores son LD si son proporcionales. Un subconjunto de un conjunto LI sigue siendo LI. si y no
3) Operaciones con subespacios
Sean a) . b) de c) ó d) base de espacio. . Unión: . Suma directa: . están en suma directa es un subespacio cuando Suma: , donde es base subespacios de . Intersección:dim dim dim dim dim dim
n n 2n
n+1
la unión de sus bases es
Dos subespacios son suplementarios cuando están en suma directa y su suma es todo el
4) Bases
Si , es base de
5) Coordenadas de un vector en una base
Si y , entonces Dado un vector y una base, las coordenadas de ese vector en esa base son únicas. y es LI es LI para cualquier base B. 3
6) Matriz de pasaje
Sean ybases del espacio .
Además: si
y
son bases ortonormales, entonces
es una matriz ortogonal.
7) Teorema de la dimensión
Práctica 2: Producto Interno
1) Axiomas
Sea a. b. c. d. e. f. , (si , , y y , entonces ) y
2) Productos internos canónicos (PIC)
En En En En En En En En : : : : : : : :
3) Definiciones
a. b. Ortogonalidad: Norma de un vector: i. 4 . . La norma depende delPI.
Propiedades:
ii. iii.
(
) , . entonces . La recíproca sólo , con , . EPI real. . . Son iguales si .
iv. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: v. Desigualdad triangular: vi. Teorema de Pitágoras: si vale para vii. Identidad del paralelogramo: c. d. Ángulo entre 2 vectores:
Complemento ortogonal de un conjunto en un EPI: Sea
. Para el cálculo del complemento ortogonal a un...
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