Algebra Sem 0

ÁLGEBRA
TEMA 0

NÚMEROS COMPLEJOS
SNII2X0

DESARROLLO DEL TEMA
Al resolver la ecuación x2 + 4 = 0, obtenemos las raices –4
y – –4, osea números no reales.
Si consideramos U = R, tenemos como conjunto solución el
conjunto vacío, esto es, S=∅.
La solución de ecuaciones de este tipo pasan a ser posibles
debido a la introducción de un elemento matemático,
denominado unidad imaginaria, que seráindicado por la letra
i tal que:



in = i4k+r = i4k . ir ⇒ in = ir
siempre
igual a 1


i = –1 o i2 = –1
En manuscritos fechados en 1777 y publicado posteriormente
en 1794, el matemático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) fue
el primero en utilizar la letra i para representar –1.
A partir de la unidad imaginaria, comienza a configurarse
un nuevo conjunto, el de los números complejos, que será
indicadopor C.



1, i, –1 y – i

II. PROCESO PRACTICO PARA CALCULAR
POTENCIAS DEL I



Dado in, con n ∈ N tenemos:
residuo

Por lo tanto el valor de la potencia i depende del resto r,
observe el cuadro.
Valor de r

0

1

2

3

r

1

i

–1

–i

Valor de i

Ejemplos:

I. POTENCIAS DE I
Vemos ahora como podemos calcular potencias de i.
i0 = 1
i1 = i
i2 = – i
i3 = i2.i = (–1)i = –i
i4 = i3.i = (– i)(i)= –i2=1
i5 = i4.i = (1)(i) = i
i6 = i5.i = (i)(i) = i2=–1
i7 = i6.i = (–1)(i) = –i
i8 = i7.i = (– i)(i) = –i2 = 1
Observamos los valores obtenidos para esas potencias
verificamos que ellas se realicen cada grupo de cuatro
potencias, asumiendo los valores de:

El resto de la división de n por 4 seria siempre uno de
estos valores: 0,1,2 ó 3

i250 →

250 4
→ i250=i2 = –1
2 62

i931 →

931 4
→ i931=i3= –i
3 232

III. FORMA ALGEBRAICA DE UN NÚMERO
COMPLEJO


Todo número complejo puede ser expresado con la forma.
z = a + bi





Denomina forma algebraica, en el cual a y b son números
reales e i es la unidad imaginaria.
El número a es la parte real de z y lo indicamos por Re(z) =a
El número b es la parte imaginaria de z y lo indicamos por
Im(z)=b.
• Si Re (z) = 0, entonces z es un númeroimaginario puro.
• Si Im(z) = 0, entonces z es un número real.
Todo número real a es un número complejo a + Oi
Luego R ⊂ C.
Podemos visualizar esa relación de inclusión en el diagrama.
C

R

n 4 ⇒ n=4k+r
r k

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

11

ÁLGEBRA

TEMA 0

NÚMEROS COMPLEJOS

VI. C O N J U G A D O D E U N N Ú M E R O
COMPLEJO

Ejemplos:
z = 2 + 7i ⇒ Re (z) = 2 e IM (z) = 7
z = –4i ⇒ Re (z) = Oe IM (z) = – 4



Dado un número completo Z = a + bi, denominamos
conjugando de Z al número complejo.

IV. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS



Z = a – bi

Dos números complejos Z1=a+bi e Zz = a+bi e Zz = c+di.
Son iguales si y solamente si, sus partes reales e imaginarias
fueron respectivamente iguales o sea:

Ejemplo:
Si: Z = 2 + 5i entonces: Z = 2– 5i
Z = –4 + 2i entonces: Z = –4–2i

Z1= Z2 ⇔a+bi = c+di ⇔ a = c y b = d

Observación:

V. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN LA FORMA ALGEBRAICA
A. Adición
Sean los números Z1 = a + bi y Z2 = c + di, con a,b,
c d ∈ R. Entonces tenemos:

El conjugado de un número real es el propio número.

VII. PROPIEDADES DEL CONJUGADO



• Z1 + Z2 = Z1 + Z2









Z1+Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i
Parte
Parte
real imaginaria
• Ejemplo:Siendo Z1 = 3+4i y Z2 = –1+2i
Determinar: Z1 + Z2
Z1 + Z2 = (3+4i) + (–1+2i) = (3–1)+(4+2)i

= 2+6i

B. Sustracción
Sean los números complejos Z1 = a + bi y Zz = c +
di con a, b, c, d ∈ R, entonces tenemos:

• Z1 . Z2 = Z1 . Z2
• Z = Z ⇒ Z ∈ R
n

• (Z) = Zn, con n ∈ N
• Z = Z

VIII. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS
EN FORMA ALGEBRAICA


Z1–Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a–c)+(b–d)i

Sean losnúmeros complejos Z1 y Z2 con Z2 ≠ 0.
Z1
El número complejo
es obtenido multiplicando
Z2
el numerador y denominador por conjugado del
denominador, esto es:









Sean Z1, Z2 y Z3, números complejos cuales quiera.
Entonces son validos las siguientes propiedades.

Parte
Parte
real imaginaria

Z1 . Z2
Z2 Z2

• Ejemplo:
Siendo Z1 = 5+i y Z2 = –1+3i
Determinar: Z1 – Z2
Z1 – Z2 = (5+i) –...