Algebra superior

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Profr. Carlos Alberto López Andrade Materia: Álgebra Superior

Tarea # 1(Inducción Matemática)
Demuestre que: 1. ∀n ∈ I : 2n + n3 es divisible por 3. N 2. ∀n ∈ I : n(n2 + 5) es divisible por 6. N 3. ∀n ∈ I : 32n+2 − 8n − 9 es divisible por 64. N 4.∀n ∈ I : 7n − 2n es divisible por 5. N 5. ∀n ∈ I : 4n − 1 es divisible por 3. N 6. ∀n ∈ I : 11n − 4n es divisible por 7. N 7. ∀n ∈ I : 32n+1 + 2n+2 es divisible por7. N 8. ∀n ∈ I : 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = N 9. ∀n ∈ I : 2 + 5 + 8 + · · · + (3n − 1) = N
n(3n−1) . 2 n(3n+1) . 2

10. ∀n ∈ I : 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n =2n+1 − 1. N 11. ∀n ∈ I : 1 + 1 + 1 + · · · + N 2 4
1 2n

=2−

1 . 2n 3n+1 −1 . 2

12. ∀n ∈ I : 1 + 3 + 9 + 27 + · · · + 3n = N

1 1 13. ∀n ∈ I : 1 − 3 + 1 + · ·· + (− 3 )n = 3 [1 − (− 1 )n+1 ]. N 9 4 3

14. ∀n ∈ I : N 15. ∀n ∈ I : N 16. ∀n ∈ I : N

1 1·2

+

1 2·3

+ ··· +

1 n(n+1)

=

n . n+1

1 1·2·3 0 1!+
1 2!

1 2·3·4

+ ··· + + ··· +

1 n(n+1)(n+2) n−1 n!

=
1 . n!

n(n+3) . 4(n+1)(n+2)

+

+

2 3!

=1−

17. ∀n ∈ I : 1 · 3 + 2 · 32 + 3 · 33+ · · · + n3n = N 18. ∀n ∈ I : n + n2 es par. N

(2n−1)3n+1 +3 . 4

19. ∀n ∈ I : an − bn es divisible por a − b. N [Sugerencia: ak+1 − bk+1 = ak (a − b) + (ak − bk)b] 20. ∀n, m ∈ I : (an )m = anm . N Carlos Alberto López Andrade 1 FCC-BUAP

21. ∀n ∈ I : n < 2n . N 22. ∀n ∈ I : 1 + 2n ≤ 3n . N 23. ∀n ∈ I : n ≥ 4 ⇒ 2n ≥ n2 . N24. ∀n ∈ I : n ≥ 4 ⇒ 2n < n!. N 25. ∀n ∈ I : n > 6 ⇒ 3n < n!. N

Puebla, Pue., a 16 de enero de 2011

Carlos Alberto López Andrade

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FCC-BUAP