Algebra Transformaciones Lineales Valores Y Vectores Propios




División de Ingeniera



Transformaciones lineales, valores y vectores propios



Introducción
Este trabajo constara de una investigación sobre lastransformaciones lineales, valores propios y vectores propios, contara con el apoyo de definiciones, propiedades y ejemplos. El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matrizsimétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejesprincipales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante.






















Transformaciones lineales
Una función T: V W (de un espaciovectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)

Tipos detransformaciones lineales
1) T : V → W , T ( v ) = 0W , ∀v ∈ V Transformación lineal Nula .
2) T : V → V , T ( v ) = cv, ∀v ∈ V , con c ∈ K , c fijo. En particular, si c =1: IV : V → V , IV ( v ) = v, ∀v∈ V Transformación lineal Identidad .
3) Sea A ∈ M m×n (R) Entonces T : Rn → R m , T ( v ) = Av es transformación lineal. Transformación determinada por la matriz A. (El producto matricial Av estádefinido si los vectores se colocan como vectores columnas)


Ejemplos
1. T: R2  R3 /  x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a)¿  x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =                                           = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿  x Î  R2,  k Î  R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k...