Algebra Universal

´ ´ ESPECIALIZACION EN MATEMATICAS ´ ALGEBRA UNIVERSAL Trabajo No. 1 1. Elabore diagramas de Hasse para los ret´ ıculos de subgrupos de los grupos siguientes. a) ℤ4 Prueba. Los subgrupos de ℤ4 son:{¯ ¯ , {¯ y ℤ4 . 0, 2} 0}
{ℤ4 }

0, 2} {¯ ¯

{¯ 0}

b)

(el grupo

′′

′′

de Klein) son: { , } ; { , } , { , } , { } y .

Prueba. Los subgrupos de

{ , }

{ , }

{ , }

{ }c) ℤ6 Prueba. Los subgrupos de ℤ6 son: {¯ ¯ ¯ , {¯ ¯ , {¯ y ℤ6 . 0, 2, 4} 0, 3} 0}
{ℤ6 }

0, 2, 4} {¯ ¯ ¯ {¯ 0}

0, 3} {¯ ¯

1

d)

3

Prueba. Los subgrupos de 3 son: { 0 , 1 , 3 } , { 0, 1 } , {⎞0 , ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 3 ⎠, ⎠, 2 = ⎝ ⎠, 1 = ⎝ y 3 . Donde 0 = ⎝ 3, 1, 2 2, 3, 1 1, 2, 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1, 2, 3 1, 2, 3 ⎠. ⎝ ⎠, 3 = ⎝ 2 = 2, 1, 3 3, 2, 1
3

1

2} , { 0, ⎛

=⎝1, 2, 3

,{ 3} ⎞ 0} ⎠,

1, 3, 2

{ 0,

1,

2}

{ 0,

1}

{ 0,

2}

{ 0,

3}

{ 0}

2.

a) Pruebe que en un semirret´ ıculo inferior, cualquier elemento minimal es el m´ınimo. Prueba. Sea ∈ ∧ el = un elemento minimal del semirret´ ıculo inferior { , }= as´ ≤ ı . ∧ existe, entonces ∈ ∧ ≤ , como para todo es minimal

pero como

para todo

, por lo tanto

es el m´ınimo del semiret´ ıculo

inferior

b) Muestre un ejemplo de un semirret´ ıculo inferior que tenga infinitos maximales distintos (ninguno de los cuales, por lo tanto, es m´ximo). a Prueba. Elconjunto de los n´meros primos en donde el orden est´ dado de las u a siguiente manera. ≤
2 3 5 7

si y solo si
11 13

∣
...

1

2

3. Sea ( , ∧) un semirret´ ıculo inferior y sea funcionesde la funci´n o ∧ en

un conjunto. En el conjunto

de las

considere la operaci´n ∧ que asigna a cada par de funciones , o ∈ .

definida como sigue para cada

( ∧ )( ) = ( ) ∧ ( ) a) Verifiquelas condiciones algebraicas que hacen Prueba. ¿(Conmutativa) Sean , ∈ ∧ = ∧ ? ∈ , ( ∧ )( ) = ( ) ∧ ( ) como ∧ = un semirret´ ıculo inferior.

entonces para cada

( ), ( ) ∈ ∧ . ¿(Asociativa)...