algebra vec 2

´
Algebra
Vectorial

Principios de Mec´anica. Licenciatura de F´ısica. Curso 2007-2008.

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Indice.

1. Magnitudes Escalares y Vectoriales.
2. Vectores.
3. Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.
4. Espacio vectorial.
5. Producto Escalar.
6. Componentes de un vector.
7. Producto Vectorial.
8. Representaci´
on vectorial de una superficie.
9. Rotaciones.

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Magnitudes Escalares y Vectoriales.
♠ Las magnitudes f´ısicas que se representan mediante el valor de una u
´nica cantidad se denominan
escalares. Ejemplo: volumen, densidad, temperatura.
♠ No todas las magnitudes f´ısicas son de tipo escalar. Para otras, es necesario especificar tambi´en
la direcci´
on. Ejemplo: el desplazamiento; necesitamosespecificar el camino recorrido y la direcci´
on
en que lo hemos hecho.
♠ El ´algebra de las magnitudes escalares y vectoriales es muy diferente. Si sumamos dos volumenes
iguales, obtenemos el doble del volumen inicial. Si nos movemos 50m direcci´
on N y luego otros
50m direcci´
on S, volvemos al punto inicial.

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Vectores. Camposvectoriales.
♠ Un vector es una magnitud caracterizada por su m´odulo, direcci´on y sentido. Se representa por
v . Un vector de m´odulo unidad se representa por v
ˆ. Gr´aficamente, un vector se representa por
una flecha que indica la direcci´
on y sentido y cuya longitud es proporcional al m´
odulo del vector.
Ejemplo: velocidad.

v

FG

Un campo vectorial es toda aplicaci´
on que a cada punto delespacio le hace
corresponder un vector. Ejemplo: la fuerza de atracci´
on gravitatoria que genera
la tierra en cualquier punto del espacio.
Los vectores que se aplican sobre un punto, o tienen un origen fijo, se denominan
vectores fijos; cuando todos los vectores con el mismo m´
odulo, direcci´
on y
sentido son equivalentes, se denominan vectores libres. Vectores fijos y libres
tienen el mismo´algebra, pero los vectores fijos s´
olo se pueden sumar si tienen el
mismo origen o punto de aplicaci´
on. Un vector libre es la clase de equivalencia
de los vectores fijos.

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Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.
c

a

b
a+b=c

c
b

a

a+b=c

• Los vectores se suman siguiendo la regla del paralelogramo. Para sumarvectores fijos, tienen
que ser concurrentes en un punto o tener el mismo origen; para sumar dos vectores libres, basta
escoger dos representantes con origen en el mismo punto.
• La resultante de multiplicar un vector de modulo v por un escalar λ es un vector de m´odulo λv
pero con la misma direcci´
on, sentido y punto de aplicaci´
on que el vector original.

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Por el teorema de Pit´agoras

c

a
α

β

θ

b

c2 = (b + a cos θ)2 + (a sin θ)2 = a2 + b2 + 2ab cos θ
denominado teorema del coseno, que nos da el modulo del
vector suma.

Por otro lado, se cumplen las siguientes relaciones:

c sin α = a sin θ;

b sin α = a sin β

⇒

c
b
a
=
=
sin θ
sin β
sin α

denominado teorema del seno.
Con estos dos teoremas podemos calcular elm´
odulo y direcci´
on de c = a + b.

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Espacio vectorial.
El ´algebra vectorial verifica las siguientes propiedades:
1. Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c.
2. Conmutativa: a + b = b + a.
3. Existe un elemento neutro cuyo m´
odulo es cero: a + 0 = a
4. Existe un elemento inverso que es el mismo vector con sentidoopuesto.
5. Distributiva. Si λ, ν son n´
umeros reales: λ(a + b) = λa + λb; (λ + µ)a = λa + µa

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Producto Escalar.
• El producto escalar de dos vectores es el n´
umero real dado por:
a · b = ab cos θ
siendo θ el ´angulo entre los vectores a y b.

• El producto escalar posee las siguientes propiedades:
1. Distributiva: a ·...