Algebra. Vectores Geométricos

Vectores geométricos en IR2 y en IR3

Unidad nº 3:

LOS VECTORES GEOMÉTRICOS DEL PLANO Y DEL ESPACIO:
Todo par ordenado de puntos del plano (o del espacio) determina una cupla puntual o vector fijo:

•b

La flecha indica el orden del par: (a, b) y determina el sentido del vector.
Al primer elemento se le denomina origen, al segundo elemento extremo.
La recta que contiene a ambos puntosRab se la denomina recta sostén o
recta soporte del vector.

•a
→

Se anota (a, b) o bien ab
Una cupla puntual o vector fijo en el cual coinciden origen y extremo se denomina cupla nula o vector
nulo:
Obsérvese que existen infinitas rectas sostén para
cada cupla nula, las que pasan por el punto a.
→
•a
Se anota: (a, a) = aa

Dos cuplas puntuales, o vectores fijos, son iguales sicoinciden origen y extremo:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d

EQUIPOLENCIA
La equipolencia es una relación de equivalencia que puede definirse entre las cuplas puntuales.
Nota: En primer lugar recuerde que un paralelogramo queda determinado por una cuaterna ordenada
de puntos (a, b, c, d) de un plano tal que:

a •

• b

Rab // Rcd y Rad // R bc

d •

• c

Dos cuplas no nulas sonequipolentes si al conectar los orígenes y los extremos se determina un
paralelogramo, o bien si las mencionadas cuplas pueden conectarse a través de una cadena de
paralelogramos. Se anota (a, b) ∼ (p, q)
Las siguientes representaciones muestran en el primer caso que (a, b) ∼ (n, m) y tienen distintas rectas
sostén, en el segundo caso en cambio (a, b) no es equipolente con (c, d) y en el tercercaso las cuplas
(a,d ) y (d, c) son equipolentes y tienen la misma recta sostén.

b •

•m

a •

Álgebra y Geometría Analítica

• n

-

a •

•c
•
b

Prof. Ana María Nuñez

•
d

-

a •

•
d

•c

1

Vectores geométricos en IR2 y en IR3

Unidad nº 3:

Por convención las cuplas nulas son
equipolentes entre sí, del mismo
modo las cuplas iguales sonequipolentes entre sí.

•a

•b

(a, a) ∼ (b, b) ∼ (c,c)

•c

Se dijo que esta es una relación de equivalencia, por lo tanto verifica las propiedades reflexiva, simétrica
y transitiva. Queda para el lector la representación gráfica que verifique lo dicho.
Como la equipolencia es una relación de equivalencia determina clases de equivalencia, es decir
conjuntos en los cuales están todas las cuplasequipolentes a una dada.

⎡→⎤
⎢ab⎥ = { (m, n) / (m, n) ∼ (a, b) }
⎣ ⎦

En símbolos:

Cada clase de equivalencia es lo que se denomina “vector libre”.

VECTORES FIJOS A UN PUNTO O
→

Si se fija un punto “o”, todas las cuplas con origen en o: (o, a) = oa determinan el conjunto Vo

a
→

b

→

→

oa ob oc son cuplas fijas al punto “o”

c

• o
→

En este conjunto la cuplanula o vector nulo es (o, o) = 0 origen y extremo en o.
En el conjunto de los vectores fijos Vo , se puede definir una operación binaria interna, la adición o
suma, y una operación binaria externa, la multiplicación de un escalar por un vector fijo.

Para sumar 2 vectores fijos no alineados se recurre a la regla del paralelogramo:

• a

o

• c

•

•

• b

•

•

a

o

•b

c

Si están alineados se recurre a
→

→

→

→

oa + ob = oc

•

→

→

la equipolencia: oa + ob = oc

La suma de dos vectores fijos de Vo , es otro vector fijo de Vo único.

Para multiplicar un escalar por un vector fijo, se recurre al paralelismo y a la equipolencia para graduar
una recta auxiliar A:
Álgebra y Geometría Analítica

-

Prof. Ana María Nuñez

-2

Vectores geométricos en IR2 y en IR3

Unidad nº 3:

A
→
1 →
oa = om
2

o
m

b

El producto de un escalar por un vector de Vo, es un único vector que también pertenece a Vo

•

→

→

El vector nulo oo de Vo se simboliza 0 y es el elemento neutro para la suma.
→

→

→

→

→

Todo vector fijo oa tiene su opuesto - oa tal que oa + (- oa ) = 0

•a

En la...