Algebra vectorial

I N T R O D U C C I O N

En el presente trabajo se detalla de manera la teoria del Tema 1 de “Álgebra Lineal “, Espacios Vectoriales en el cual se tratará de enlazar las relaciones de todos los axiomas, teoremas y propiedades necesarias que se requiere para comprender la utilidad de esta herramienta en nuestra carrera, con la parte práctica que en definitiva es la que nos dará el valoragregado. Los puntos mas destacados son:

• Espacio Vectorial
• Base Y Dimension
• Espacios Vectoriales Normados
• Ortogonalidad Y Subespacio Ortogonal
• Metodo De Gran-Schindt
1.- ESPACIO EUCLIDIANO O ESPACIO VECTORIAL

Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, también conocido por espacio n-dimensional y de denota por Rn , este es una sucesión de nnúmeros reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se clasifican así:
R1 = espacio unidimensional, línea recta real.
R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.
R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.
.......
Rn = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas.

Tambien se conoce como espacio vectorial aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma devectores y la multiplicación por un escalar. Un espacio vectorial es un espacio no vacío. Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y lamultiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial. Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones.

1.1 AXIOMAS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES

1. Cerradura bajo lasuma: Si x є V e y є V, entonces x + y є V.
2. Ley asociativa de la suma de vectores: Para todo x,y y z en V, (x + y) + z = x + y + z
3. Vector cero ó Identico aditivo: Existe un vector 0 є V tal que para todo x є V, x + 0 = 0 + x = x
4. Vector inverso aditivo: Si x є V, existe un vector –x en V talque x + (-x) = 0
5. Ley conmutativa de la suma de vectores: Si x e yestán en V, entonces x + y = y + x
6. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: Si x є V y α es un escalar, entonces α.x є V
7. Primera ley distributiva: Si x e y están en V y α es un escalar, entonces α.(x + y) = αx + αy
8. Segunda ley distributiva: Si x є V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx
9. Ley asociativa de lamultiplicación por escalares:Si x є V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x
10. Para cada vector x є V, 1x = x

1.2.- SUB ESPACIO VECTORIAL

Un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.
Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si(S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.

1.2.1.- CONDICIÓN DE EXISTENCIA DE SUBESPACIO

El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (la ley de composición interna (+) entre elementos del conjunto S y la ley de composición externa (*) con escalares del cuerpo K) seancerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicación para los vectores.
Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:
1. S no es un conjunto vacío....