Algebra vectorial

Tema 2: Álgebra Vectorial

Álgebra Vectorial.
1 Escalares y Vectores.

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En el anterior tema, ya se habían definido magnitudes tales como los escalares y los vectores. La definición de escalar es la de aquella magnitud física representable con un número real y una unidad apropiados, independientemente de cualquier sistema de referencia donde se haga la medición, como en el caso de ladistancia, temperatura, masa, volumen, área o tiempo. En cambio, en el vector la representación debe incluir un número que se denomina módulo, sentido y dirección (en otros textos y paginas Web se habla de módulo y dirección). Para hablar, por ej., de desplazamiento, si se nos pide dar tres pasos no quedará claro hacia donde darlos, hasta que no se nos diga sobre cual línea de referencia y hacia quelado de la línea hay que caminar. Por eso, dicha magnitud es vectorial. Lo mismo podría decirse de la aceleración gravitacional terrestre, que no estaría adecuadamente especificada si no se señala el sentido y dirección en los cuales apunta.

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Notación de los escalares y vectores.

Los vectores suelen representarse mediante el uso de caracteres en negrilla para diferenciarlos de losescalares, para los cuales se usan letras en cursiva como en el siguiente ejemplo referido a un vector indicado con la letra “A”: A: vector A A: escalar que también puede representar el módulo del vector A. Para los textos manuscritos la convención entre unos y otros se muestra en este otro ejemplo:  A:vector

∣ ∣: módulo del vector A
que es la convención que se usará en lo sucesivo. Se usarán loscaracteres en cursiva para Apuntes de Física I Pág 1

Tema 2: Álgebra Vectorial indicar los componentes de los vectores, tema que se tratará más adelante.

3 3.1

Operaciones con vectores. Suma de vectores.

Método Geométrico

Para sumar dos vectores en forma gráfica, existen dos métodos que son el del paralelogramo y el del triángulo. El primer caso, consiste en hacer que los orígenesde los dos vectores coincidan en un punto, completando un paralelogramo (polígono de cuatro lados paralelos “dos a dos”) trazando líneas paralelas a los dos vectores. La suma vectorial se obtiene trazando un vector desde el punto de origen hasta el punto donde se cortan las líneas paralelas trazadas.

Figura 1. Suma de vectores por el método del paralelogramo. Para el método del triángulo, losdos vectores se disponen uno seguido del otro. Es decir la punta (o flecha) de un vector toca al origen del otro vector. Como se puede deducir de las figuras, el resultado es siempre es el mismo.

Figura 2. Suma de vectores mediante el método del triángulo. Una variante de este método puede usarse para sumar gráficamente varios vectores. Todos los vectores a ser sumados se disponen de modo que supunta o flecha coincide con Apuntes de Física I Pág 2

Tema 2: Álgebra Vectorial el origen del siguiente vector. La suma de todos los vectores completa un polígono que bien puede ser asumido como un anillo y es lo que muestra la siguiente figura.

Figura 3. Suma de varios vectores.

3.2

Resta de Vectores

En el caso de la resta de vectores, es similar a la suma aunque en otro sentido.Fácilmente, se puede ver que la resta de vectores es igual a una suma algebraica de un vector más el opuesto del otro. A no ser que estos sean vectores paralelos, el vector resta no tiene la misma dirección y sentido del vector suma. La siguente figura muestra el vector resta en color verde.

Figura 4. Resta de vectores

Apuntes de Física I Pág 3

Tema 2: Álgebra Vectorial

3.3

Métodoanalítico

El método gráfico de muy poco sirve para el caso de la suma de vectores en dos y tres dimensiones. Para ese caso, existe el método analítico que implica que un vector sea descompuesto en componentes, o lo que es similar, todo vector puede ser visto como la suma de 2 o 3 vectores según el sistema de coordenadas elegido (de 2 o 3 dimensiones). La  siguiente figura muestra como se...