Algebra vectorial

Tabla de contenido

I. Definición, notación y clasificación de los vectores. 3

II. Espacio Vectorial 4

III. Operaciones fundamentales; suma y diferencia de vectores. 5

IV. Forma trinomia y vectores unitarios 6

Las componentes x, y, z, tienen de módulo: 7

El módulo de r es: [pic] 7

Si elevamos al cuadrado las igualdades (1) y sumamos, obtendremos: 7

el vector unitario enla dirección de v será: 8

I. Definición, notación y clasificación de los vectores.
Un vector es un ente geométrico definido por un segmento orientado de recta, que se utiliza para la representación de magnitudes llamadas magnitudes vectoriales (En Geometría).

En Mecánica, es la cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido, una magnitud es vectorial cuando en sudeterminación necesitamos, además de su medida (módulo), una dirección y un sentido.

Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una punta de flecha. Queda determinado su módulo por la longitud del segmento; su dirección por la recta a que pertenece; y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama punto de aplicación.

Estasmagnitudes vectoriales se representan por letras negritas, por ejemplo; V (en negrita); y la representación de su módulo por la correspondiente letra cursiva V o bien la notación V. Cuando definamos el vector por su origén (O) y extremo (O¨) convendremos en representarlo así: OO¨ o también mediante la diferencia simbólica O´- O.

Sin embargo, en las figuras optamos por representarlos comonormalmente se hace en un manuscrito, es decir, con la flecha indicativa de vector sobre la letra que representa a la magnitud vectorial correspondiente.

Clasificación de Vectores:

En General

✓ Libres.- Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puede trasladar su origen a cualquier punto del espacio, siempre que conserve su módulo y sentido y mantengaparalela su dirección.
Ej. Momento de un par.

✓ Deslizantes.- Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Un vector deslizante solo puede trasladar su origen a lo largo de su recta de aplicación. Ej. La fuerza aplicada a un sólido.

✓ Fijos.- Un vector fijo es el de origen fijo. Ej. La intensidad del campo gravitatorio en un punto dado.Comparativamente:

✓ Vectores equipolentes.- Son los que tienen igual módulo, la misma dirección o direcciones paralelas y el mismo sentido. La equipolencia es una relación de equivalencia, que establece una partición del conjunto de los vectores en clases de equivalencia
.
✓ Vectores iguales.- Son los que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.✓ Vectores equivalentes.- Son los que producen el mismo efecto.

A lo que representan:

✓ Vectores polares.- Son los que representan magnitudes físicas relacionadas con una traslación, como la velocidad lineal por ejemplo.

✓ Vectores axiales.- Son los que representa magnitudes físicas ligadas a una rotación, como el vector velocidad angular.

Fijado unsistema de referencia, se denominan componentes de un vector V los valores de las proyecciones del vector sobre los ejes del sistema de referencia, por ejemplo; Vx,Vy,Vz.
II. Espacio Vectorial
Podemos asociar un conjunto de puntos X con el conjunto de los números reales, lo que constituiría un sistema coordenado del espacio unidireccional formado por los puntos de X.

Podemosenunciar que el par de números (x,y) que representen las coordenadas de un punto P en el plano, y la correspondencia biunívoca de parejas ordenadas de números con el conjunto de puntos del plano XY es el sistema coordenado ortogonal del espacio bidimensional constituido por los puntos del plano.

Por tanto, la terna ordenada de números (x,y,z) que representan las coordenadas de un punto P...