Algebra Y Calculo Tensorial

Introducci´
on a la mec´
anica
de los s´
olidos deformables

Ignacio Romero Olleros
E.T.S. Ingenieros Industriales
´cnica de Madrid
Universidad Polite

28 de Abril, 2011

´Indice
´
Cap´ıtulo 1. Algebra
y c´
alculo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Vectores y campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Componentes ycambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Operaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. C´alculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2. Tensores y campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.Componentes y cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Operaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3. Tensores con propiedades especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4. Descomposiciones de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.5. Autovectoresy autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.6. C´alculo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Cap´ıtulo 2. Estudio del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

15

1. El modelo del s´
olido deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2. Fuerzas que act´
uan sobre los s´
olidos deformables . . . . . . . . . . . .

16

2.1. Fuerzas volum´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2. Fuerzas de superficie o de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

17

3. Fuerzas internas en un cuerpo deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4. El tensor de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.1. Interpretaci´on f´ısica de las componentes del tensor de
tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

i

5. Ecuaciones deequilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5.1. Principio fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5.2. Equilibrio de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

5.3. Equilibrio de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

6.Tensiones principales y direcciones principales de
tensi´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

7. Representaci´
on gr´
afica de un tensor de tensiones . . . . . . . . . . . .

29

8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Cap´ıtulo 3. An´
alisisde la deformaci´
on de los cuerpos . . . . . . . . . . . . . .

45

1. Introducci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2. Cinem´
atica de un cuerpo deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3. C´
alculo de deformaciones. El tensor de deformaci´
on
infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.1. El tensor de deformaciones infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2. C´alculo de deformaciones longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3. C´alculo de deformaciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4. Interpretaci´on geom´etrica de las componentes del tensor de...