Algebra y su habla.

Unidad 7. El lenguaje algebraico

1. VARIABLES.
2. POLINOMIOS CON UNA INDETERMINADA. OPERACIONES CON POLINOMIOS.
3. IGUALDADES NOTABLES.
4. ECUACIONES DE GRADO UNO Y DOS.
5. SISTEMAS DE ECUACIONES.

1. VARIABLES:

Para la resolución de problemas de la vida cotidiana, solemos transcribir a un lenguaje matemático que llamaremos lenguaje algebraico. Este lenguaje utilizaletras, números y símbolos matemáticos. Con ello, conseguiremos simplificar el problema y podremos resolverlo más cómodamente.

Definición: una variable es una magnitud sobre la cual queremos información. Ésta puede ir cambando de valor, según el caso.

El uso más frecuente de variables consiste en sustituir una expresión por dicha variable, para trabajar más cómodamente. Normalmente se usancomo variables las últimas letras del abecedario; pueden usarse varias variables simultáneamente.

2. POLINOMIOS CON UNA INDETERMINADA:

Definición: un polinomio es una expresión algebraica compuesta por cuatro o más monomios.
Un monomio consta de grado, valor numérico y puede ser completo o estar reducido.
- Se llama grado de un polinomio al mayor exponente de la variable delpolinomio. Ej: p(x)=3x2 -5x4-2x+3
- Un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes, es decir, del mismo grado. Ej: p(x)=-3x3+7x2-7x+3.
- Un monomio es completo cuando estén todos los exponentes seguidos y tenga términos de todos los grados a partir del que me den grado del polinomio.
Ej: x2-2 no es completo, x2-3x+2 sí es completo.
- El valor numérico de un polinomioes el valor que sale al sustituir la variable por un número. Ej: calcula el valor numérico del siguiente polinomio considerando x=2:
[pic]

OPERACIONES CON POLINOMIOS:

- Adición: [pic]

[pic]

- Sustracción (los mismos pol. que el caso anterior): para restar dos polinomios debamos sumarlos cambiando el signo de cada monomio del segundo polinomio:
[pic]- Producto: (en esta ocasión, q(x)=-x2+8
[pic]

- División: vamos a dividir los siguientes polinomios:
[pic]

El resultado lo expresaremos así: como ya sabemos, en una división normal y corriente se cumple que [pic], es decir, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Esto puede extrapolarse al caso de los polinomios, pero vamos a hacer unamodificación: expresaremos el resultado de la división así:
Como [pic], [pic]
Así, el resultado de la división anterior será [pic]

Para aquellas divisiones cuyo cociente sea de la forma [pic], donde [pic] podemos emplear un método llamado “División por Ruffini”. Así pues,

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS:
Factorizar un polinomio significa hallar el factor común. Con un ejemplo se verá todomuy claro: [pic]
En ocasiones, factorizar un polinomio no es sencillo. Para algunos vale el siguiente método: factorizar [pic]
1º. Convertimos el polinomio en una ecuación:
[pic]
2º. Hallamos la ecuación. Para resolver una ecuación de segundo grado como esta es necesario aplicar la fórmula [pic], que está explicada más detenidamente en el apartado de ecuaciones, dos postulados másadelante. Así,
[pic] + [pic]
-
4/4 = 1
3º. Con las dos soluciones halladas, las colocamos de la siguiente forma: (x+ )(x+ ).
[pic]. Ya está factorizado.

3. IGUALDADES NOTABLES:

Existen unas igualdades notables, llamadas Binomio de Newton en honor a su descubridor, queconsisten en un binomio elevado a un exponente real. Veamos algunas de ellas:
- [pic]
- [pic]
- [pic]
- [pic]
Etcétera. Si en un determinado momento no nos acordamos, es muy sencillo deshacer
este problema: hacemos la multiplicación y listo.

Suma por diferencia: [pic]. Para demostrarlo basta con realizar la multiplicación.

Ej: determina el área de un rectángulo de lados (a + 2) ý...