Algebra Y Visualización 3D

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Computación
Lecturas en Ciencias de la Computación
ISSN 1316-6239
Introducción a la Visualización 3D
Prof. Rhadamés Carmona
ND 2008-02
Centro de Computación Gráfica
Caracas, Enero 2008.
Introducción a la Computación Gráfica
Prof. Rhadamés Carmona
rcarmona@ ciens.ucv.ve
Universidad Central de Venezuela. Facultad deCiencias. Escuela de Computación.
Centro de Computación Gráfica
Venezuela. Caracas
Apdo. 47002, 1041-A.
ND 2008-02
Resumen
Este trabajo busca introducir al estudiante al mundo de la computación gráfica tridimensional,
enseñando conceptos fundamentales como espacio vectorial, coordenadas
homogéneas, trasformaciones afines, proyecciones, y demás transformaciones necesarias
para visualizar unobjeto tridimensional definido por polígonos.
Palabras claves: visualización 3d, pipeline gráfico, transformaciones afines, coordenadas homogéneas.
Enero, 2008
1.- Introducción
El despliegue de una imagen tridimensional en un dispositivo gráfico bidimensional,
conocido como proceso de visualización, tiene asociado varias transformaciones, que son
deducidas de una manera natural, y combinadascomo un producto de matrices,
trabajando sobre el espacio proyectivo (extensión del espacio euclidiano) y el plano
proyectivo (extensión del plano euclidiano).
Para describir cómo se realiza este proceso, es necesario conocer ciertos conceptos
básicos, que serán utilizados a lo largo de este trabajo: espacio vectorial, espacio de
puntos, espacio afín, espacio euclidiano, combinacionesbaricéntricas y transformaciones
afines. Esto nos permitirá la introducción de aspectos de la geometría proyectiva, tales
como el plano y espacio proyectivo, coordenadas homogéneas, y las transformaciones
afines en términos proyectivos, para culminar con la descripción de del proceso completo
de visualización.
2.- Conceptos Básicos
2.1) Espacio vectorial
Un espacio vectorial o lineal V sobre R es unconjunto que es cerrado bajo combinaciones
lineales con coeficientes reales. Los elementos de V son llamados vectores, y los
coeficientes escalares [BOE94].
La operación suma de vectores cumple con ciertas propiedades: es conmutativa,
asociativa, existe el elemento neutro (un elemento comúnmente denotado por 0, tal que
para todo vector v, v + 0 = v ), y existe para cada vector v su inverso(generalmente
expresado como -v, tal que v + (-v) = 0 ). La multiplicación de vectores por escalares
cumple con: (α.β .v) =α.(β .v) , 1.v = v , (α +β ).v =α.v +β .v , y α.(v + w) =α.v +α.w,
donde α, β son escalares, y v, w son vectores en V.
2.2) Base y dimensión de un espacio vectorial
Sean 2 r a , a , ..., a 1 , r vectores del espacio vectorial V. Se dice que estos vectores son
linealmentedependientes (L.D.) si existen escalares r
α α ,α , ..., 1 2 no todos nulos tal que
. 0
1
= Σ=
r
i
i i α a .
Por el contrario son linealmente independientes (L.I.) si se cumple que
. 0
1
= Σ=
r
i
i i α a ⇔α =( 1 2 r α ,α , ...,α )=0.
El conjunto de los vectores v ∈ V formados por todas la combinaciones lineales de
2 r a , a , ..., a 1 es un subespacio de V. La dimensión de V(dim(V)) es el máximo número de
vectores linealmente independientes en V.
Los vectores que definen la dimensión de V: 2 n a , a , ..., a 1 , forman una base para el
espacio V, de tal manera que cualquier vector v ∈ V se puede expresar como combinación
lineal de éstos.
v ∈ V ⇔ ∃ α =( 1 2 n ..., , , α α α ) : Σ=
n
i
i i a
1
α . = v.
2.3) Espacios de puntos
El mundo puede ser visto como unespacio de puntos. Estos puntos están relacionados de
manera natural con un espacio lineal: dos puntos están conectados por un vector (la resta
de los puntos b y a es el vector v que va de a hacia b), y un vector sumado a un punto es
un punto. De aquí derivamos:
v = b−a y b = a+v
Como v es un vector, puede ser expresado como combinación lineal de n vectores,
entonces b puede expresarse como:...