Algebra

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matem´tica y C.C. a
Soluci´n Prueba Especial Programada N o 3 o ´ Algebra Plan Anual Profesor Ricardo Santander Baeza 22 de Noviembre del 2003
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(1.a) Demuestre usando propiedades (sin desarrollar directamente) que   3 a 3a2 3a 1  a2 (a2 + 2a) (2a + 1) 1  6  det   a (2a + 1) (a + 2) 1  = (a − 1) 1 3 3 1 Soluci´n oa3 B a2 B det @ a 1 0 3a2 (a + 2a) (2a + 1) 3
2

3a (2a + 1) (a + 2) 3

1 1 1 C C 1 A 1

(l1 − →l1 −l4 )

=

B det B @ 0

0

a3 − 1 a2 a 1

3a2 − 3 (a2 + 2a) (2a + 1) 3

3a − 3 (2a + 1) (a + 2) 3

1 0 1 C C 1 A 1 1 0 0 C C 1 A 1 1 0 0 C C 0 A 1

(l2 − →l2 −l4 )

=

a3 − 1 B a2 − 1 det B @ a 1 a3 − 1 B a2 − 1 B det @ a−1 1 0 0 3 a −1 det @ a2 − 1 a−1

3a2 − 3 (a2 + 2a −3) (2a + 1) 3 3a2 − 3 (a + 2a − 3) (2a + 1 − 3) 3
2

3a − 3 (2a + 1 − 3) (a + 2) 3 3a − 3 (2a + 1 − 3) (a + 2 − 3) 3

(l3 − →l2 −l4 )

=

=

3a2 − 3 (a2 + 2a − 3) 2(a − 1)
2

1 3a − 3 (2a + 1 − 3) A (a − 1) 1 3(a − 1) 2(a − 1) A 1 1 0 2(a − 1)) A 1 1 0 0 A 1 «

=

0 3 a −1 (a − 1)det @ a2 − 1 1 (a − 1) 0

3a2 − 3 (a + 2a − 3) 2

(l1 − →l1 −3(a−1)l3 )

=

a3 − 1 − 3(a −1) det @ a2 − 1 1

3a2 − 3 − 6(a − 1) (a2 + 2a − 3) 2

(l1 − →l1 −2(a−1)l3 )

=

0 3 a − 1 − 3(a − 1) (a − 1)det @ a2 − 1 − 2(a − 1) 1 (a − 1)det „ „ a3 − 1 − 3(a − 1) a2 − 1 − 2(a − 1) a3 − 3a + 2 a2 − 2a + 1 „

3a2 − 3 − 6(a − 1) (a2 + 2a − 3) − 4(a − 1) 2 3a2 − 3 − 6(a − 1) (a + 2a − 3) − 4(a − 1)
2

=

=

(a − 1)det
2

3a2 − 6a + 3 a2 − 2a + 1 a3 − 3a + 2 1

« 3a2 − 6a + 31 «

= = = =

(a − 1)(a − 2a + 1)det

(a − 1)(a2 − 2a + 1)(a3 − 3a + 2 − 3a2 + 6a − 3) (a − 1)(a2 − 2a + 1)(a3 − 3a2 + 3a − 1) (a − 1)6

1Cada problema vale 1.5 puntos

Tiempo: 90 minutos

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(1.b) Demuestre que (1 + i)n = 2 2 cos Soluci´n o

n

nπ nπ + i sin 4 4

, para (n ∈ N)

Expresando el complejo (1 + i) en forma trigonom´trica tenemos que e 1 + i = |1 + i|(cos α + isin α) Luego,

√ √2 cos α = 1 1 + i = |1 + i|(cos α + i sin α) ⇐⇒ 2 sin α = 1 √ 2 cos α = 2 √ ⇐⇒ 2 sin α = 2 π =⇒ α = 4 As´ que, ı 1+i = Por tanto; √ π π (1 + i)n = ( 2)n cos + i sin 4 4 = 2 2 cos
n

√ π π + i sin 2 cos 4 4

n

nπ nπ + i sin 4 4

(2) Sean A ∈ MR (n) y B ∈ MR (n). Suponga que existe P ∈ U (MR (n)) tal que B = P −1 AP (a) Demuestre que B n = P −1 An P Soluci´n o (n ∈ N) yB = P −1 AP

=⇒ B 2 = (P −1 AP )(P −1 AP ) =⇒ B 2 = P −1 AP P −1 AP =⇒ B 2 = P −1 AAP =⇒ B 2 = P −1 A2 P

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As´ que iterando el proceso tenemos que: ı B n = BBB · · · B = (P
−1 −1

(n - veces)
−1

AP )(P
−1

= P −1 An P
n

= P AP P AP P = P −1 AAA · · · AP

AP )(P −1 AP ) · · · (P −1 AP )
−1

(n - veces)

AP · · · P AP (n - veces)
−1

n

(b) Concluya que
i=0ai Ai = (0) =⇒
i=0

ai B i = (0)

Soluci´n o

n

n

ai B i =
i=0 i=0 n

ai (P −1 AP )i

=
i=0 n

ai (P −1 Ai P )

=
i=0

(P −1 ai Ai P )
n

= P

−1 i=0 n

ai Ai

P

= P −1
i=0

ai Ai
(0)

P

= P −1 (0)P = (0)

(3) Una matriz A ∈ MR (n), se llama una matriz ortogonal si satisface simult´neamente las a siguiente dos propiedades: (a) A ∈ U(MR (n)) (esdecir, A invertible)

(b) A−1 = At , donde At , es la matriz traspuesta de la matriz A. Si A es una matriz ortogonal entonces demuestre que: (i) det(A) = ±1

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Soluci´n o

A−1 = At =⇒ AAt = In =⇒ det(AAt ) = det(In ) =⇒ det(A) det(At ) = 1 =⇒ det(A) det(A) = 1 =⇒ (det(A))2 = 1 =⇒ det(A) = ±1 (ii) A−1 es ortogonal Soluci´n o • A invertible entonces A−1 es invertible, y su inversa es A. •Ahora A−1 (A−1 )t = A−1 (At )−1 = (At A)−1
−1 = In = In

Luego, A−1 es una matriz ortogonal. (iii) At es ortogonal Soluci´n o • A invertible entonces At es invertible pues, AA−1 = In =⇒ (AA−1 )t = (A−1 )t At = In

• Ahora At (At )t = At A = In

(A matriz ortogonal)

Luego, At es una matriz ortogonal.

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(4) Considere el sistema lineal: x − by − cz = 0 −ax + y − cz = 0 −ax − by + z =...