Algebra

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Metodo de Gauss.
Vamos a desarrollar un m_etodo para resolver sistemas de ecuaciones que
se llama m_etodo matricial. No pens_eis que es algo ex_otico: no es m_as
que taquigraf__a y sentidocom_un. Una matriz es simplemente una ®caja de
n_umeros¯. As__, por ejemplo, podemos hacer la siguiente conversi_on:
(x + y + z = 10
5x + 10y + 20z = 90
x 3y = 0
!
0
@
1 1 1 10
5 10 20 90
13 0 0
1
A
>Ves? No hemos hecho m_as que meter los coe_cientes del sistema en una caja.
Seguramente s_olo en la tercera ecuaci_on habr_a duda de c_omo han aparecido los
n_umeros: ®1¯ por x,®3¯ por 3y, ®0¯ por que no hay z. >Se ve?
E1. Traduce a una matriz el sistema de ecuaciones, y a un sistema en x,
y y z la matriz.
(
2x + y = 1
x z = 2
2x + y + z = 4
0
@
0 4 2 2
1 1 4 5
23 1 0
1
A
La idea b_asica de la soluci_on es que hay un tipo de sistemas que son especialmente
f_aciles. Son los sistemas ®escalonados¯. Un ejemplo (en notaci_on
normal y matricial):
(
3x + 2y+ z = 11
y + 2z = 5
2z = 6
!
0
@
3 2 1 11
0 1 2 5
0 0 2 6
1
A
Este sistema se resuelve de ®abajo hacia arriba¯. La _ultima ecuaci_on es la
m_as sencilla: 2z = 6, por tanto z = 3. Ahorapodemos resolver la ecuaci_on
superior: y + 2z = 5, porque sabemos el valor de z. As__, y + 6 = 5 y, por
tanto, y = 1. Por _ultimo, nos vamos a la ecuaci_on superior: 3x + 2y + z = 11,
de la queconocemos el valor de y y el de z: 3x + 2 + 3 = 11, por tanto x = 2.
F_acil, >no?

Sistemas de Ecuaciones y Matrices. 2
Desgraciadamente, la mayor__a m_as absoluta de los sistemas no sonescalonados.
Por tanto, tenemos que aprender a transformarlos. Usaremos las
siguientes reglas b_asicas de resoluci_on:
_ Una _la de una matriz se puede multiplicar por cualquier n_umero. Es
decir, que sitenemos x + y = 2, entonces 2x + 2y = 4.
_ Se puede sumar o restar una _la a cualquier otra. En otras palabras, si
x + y = 4 y 2x + 3y = 1, entonces 3x + 4y = 5, >no?
Fijaos otra vez en la...