Algebra
Páginas: 529 (132003 palabras)
Publicado: 16 de abril de 2010
Carlos Ivorra Castillo
´ ALGEBRA
Mathematics, rightly viewed, posseses not only truth, but supreme beauty —a beauty cold and austere, like that of sculpture. Bertrand Russell
´ Indice General
Introducci´n o Preliminares conjuntistas Cap´ ıtulo I: Los n´ meros enteros y racionales u 1.1 Construcci´n de los n´meros enteros . . . . o u 1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1.3 Cuerpos de cocientes. N´meros racionales . u 1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . ix xv 1 1 3 7 13
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Cap´ ıtulo II: Anillos de polinomios 15 2.1 Construcci´n de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15 o 2.2 Evaluaci´n de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o 2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Cap´ ıtulo III: Ideales 25 3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Cap´ ıtulo IV:Divisibilidad en dominios ´ ıntegros 4.1 Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . a 4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . 4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . Cap´ ıtulo V: Congruencias y anillos cociente a 5.1 Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . 5.2 N´meros perfectos . . . . . . . . . . . . .u 5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . . 5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . v 29 29 32 35 38 45 45 49 54 58 60
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vi Cap´ ıtulo VI: Algunas aplicaciones 6.1 Ternas pitag´ricas . . . . . . . o 6.2 Sumas de dos cuadrados . . . . 6.3 Sumas de cuatro cuadrados . . 6.4 N´meros de la forma x2 + 3y 2 . u 6.5 La ecuaci´n x2 + 3y 2 = z 3 . . . o ´ 6.6 El Ultimo Teorema de Fermat . 6.7 Enteros ciclot´micos . . . . . . o Cap´ ıtulo VII: M´dulos o7.1 M´dulos . . . . . o 7.2 Suma de m´dulos o 7.3 M´dulos libres. . o y espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ INDICE GENERAL 65 65 67 72 74 77 80 83
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vectoriales 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 105 105 110 115 119 123 129 131 135 135 139 144 147 150 152 154
Cap´ ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos 8.1 Extensiones algebraicas . . . . . . 8.2 Homomorfismosentre extensiones . 8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . . 8.4 Extensiones normales . . . . . . . . 8.5 Extensiones separables . . . . . . . 8.6 El teorema del elemento primitivo 8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . Cap´ ıtulo IX: Grupos 9.1 Definici´n y propiedades b´sicas . o a 9.2 Grupos de permutaciones . . . . . 9.3 Generadores, grupos c´ ıclicos . . . . 9.4 Conjugaci´n y subgruposnormales o 9.5 Producto de grupos . . . . . . . . . 9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . . 9.7 Grupos alternados . . . . . . . . .
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Mathematics, rightly viewed, posseses not only truth, but supreme beauty —a beauty cold and austere, like that of sculpture. Bertrand Russell
´ Indice General
Introducci´n o Preliminares conjuntistas Cap´ ıtulo I: Los n´ meros enteros y racionales u 1.1 Construcci´n de los n´meros enteros . . . . o u 1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1.3 Cuerpos de cocientes. N´meros racionales . u 1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . ix xv 1 1 3 7 13
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Cap´ ıtulo II: Anillos de polinomios 15 2.1 Construcci´n de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15 o 2.2 Evaluaci´n de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o 2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Cap´ ıtulo III: Ideales 25 3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Cap´ ıtulo IV:Divisibilidad en dominios ´ ıntegros 4.1 Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . a 4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . 4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . Cap´ ıtulo V: Congruencias y anillos cociente a 5.1 Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . 5.2 N´meros perfectos . . . . . . . . . . . . .u 5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . . 5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . v 29 29 32 35 38 45 45 49 54 58 60
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Cap´ ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos 8.1 Extensiones algebraicas . . . . . . 8.2 Homomorfismosentre extensiones . 8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . . 8.4 Extensiones normales . . . . . . . . 8.5 Extensiones separables . . . . . . . 8.6 El teorema del elemento primitivo 8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . Cap´ ıtulo IX: Grupos 9.1 Definici´n y propiedades b´sicas . o a 9.2 Grupos de permutaciones . . . . . 9.3 Generadores, grupos c´ ıclicos . . . . 9.4 Conjugaci´n y subgruposnormales o 9.5 Producto de grupos . . . . . . . . . 9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . . 9.7 Grupos alternados . . . . . . . . .
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