Algebra

Guía: Álgebra lineal. Polinomios. Profesor: Gerardo Gómez Ávalos. 1. Dados los siguientes polinomios en C [x] : p (x) = x4 2; t(x) = 2x2 4x + 1: Calcule: (a) p (x) q (x) (b) s (x) (c) s (x) (d) p (x)(e) p (x) (f) s (x) (g) t (x) 3t (x) + 2 q (x) t (x) (x (x 2) 1) 3x2 5x + 3; q (x) = x3 2; s (x) = x5 3x2

(x + i) 7x + 5 sea un factor de x5 2x4 4x3 + 19x2

2. Determine los posibles valores dea de modo que x3 31x + (12 + a)

3. Encontrar las raíces racionales, si existen, de los siguientes polinomios: (a) p (x) = 2x5 + 3x4 + x3 + 2x2 + 3x + 1 (b) q (x) = 2x5 + 8x4 + 3x3 + 2x2 + 8x + 3(c) p (x) = 6x4 + 13x3 + 12x2 + 13x + 6 4. Resolver las siguientes ecuaciones: (a) 4x3 + 20x2 (b) 3x4 (c) x4 (e) x
4 3 3

23x + 6 = 0, sabiendo que tiene dos raíces iguales (una raíz de multiplicidad2). p 1+i 3 3 2 es una raíz. 10x + 4x x 6 = 0, sabiendo que 2 x3 + 2x2 2x + 4 = 0; sabiendo que 1 + i es una raíz. 4=0 24; sabiendo que dos de sus raíces estan en razón 3 : 4: 3 = 0; sabiendo que lasraíces están en PA. 24 =; sabiendo que las raíces están en PG. 36 = 0; sabiendo que las raíces están en PA.
2

(d) 3x3 + 11x2 + 8x (f) 2x (h) 3x (i) x
3 3

5x + 4x + 20 = 0 x2
2

22x
2(g) 32x
3

48x + 22x 26x + 52x 11x + 36x
2 2

(j) 4x + 20x

23x + 6 = 0; sabiendo que dos raíces son iguales.

5. Sean p (x) ; q (x) 2 C [x] tales que p (x) q (x) = 0: Demuestre que p (x) = 0Y q (x) = 0: 6. Sean p (x) ; q (x) ; s (x) 2 C [x] no nulos y tales que p (x) q (x) = p (x) s (x) Demuestre que p (x) = q (x) 7. Encontrar un polinomio p (x) de modo que sus raíces exceden en (a) x3x 4 3 3 4 3 2

a las soluciones de la ecuación:

= 0: 2x 6=0 1 sea una raíz de p (x + 1) y

(b) x4 + x + x2

8. Encuentre un polinomio p (x) 2 R [x] mónico, de tercer grado tal que p (1) = p(2) : 9. Sea p (x) = a3 x4 10. Sea p (x) = x4

8a2 x2 + 8ax + 4, donde a 2 R: Si p (2) = 4 encuentre el valor de p (1) : p 4x3 12x2 + 32x + 15: Encuentre sus raíces sabiendo que 1 + 2 es una de...