algebra

TEORIA DE CONJUNTOS
DEFINICIONES

1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera:
números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Ejemplos: { 1, 3, 7, 10}
{x/x2 -3x –2= 0}
{ Inglaterra, Francia, Dinamarca}

2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también deB.
Notación: A⊂B ⇔ ∀x ∈A⇒ x∈B
Ejemplo:
El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece
al conjunto D.

3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto,
excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal.
Notación: U
Ejemplo:
A = {1,3,5}

B ={2,4,6,8}

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

4.- Conjunto Potencia: se denomina conjunto potencia de A, P(A), a la familia de todos los subconjuntos
n
del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2 elementos.
Notación:
Ejemplo:
A = {3,4,5}
P(A)= 23 = 8, lo que significa que pueden formarse 8 subconjunto de A.
P(A)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5},{3,4,5}, φ }.

5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro
conjunto.
Notación: φ = { x / x ≠ x }
Ejemplo:

B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones
conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculoscorresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.
Ejemplo:
A⊂B
U
B

A

7.-Conjuntos Finitos o Infinitos:
no factibles de contar.

Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o

Ejemplo:
M= {a,e,i,o,u}, M es finito.
N={1,3,5,7...}, N es infinito.

8.- Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.Gráficamente:
U
A

B

Ejemplo:
A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o
a B.
Notación: A∪B= {x/x∈A∨ x∈B}
Gráficamente:
U
A

b

U
A

U

B

B
A

Ejemplo
A={3,4,5,8,9}

B={5,7,8,9,10}

A∪B={3,4,5,7,8,9,10}

2.- Intersección deconjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos
son comunes a A y B.
Notación: A ∩ B= {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficamente:
U
A

A) B
A
)
A
A
)

U
A

B

U
B
A

Ejemplo:
A={7,8,9,10,11,12}

B={5,6,9,11,13,14}

A ∩ B={9, 11}

3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A
y que estánen el universo.
Notación: Ac = {x / x ∈U ∧ x ∉A}
Ac = U - A

Gráficamente:
Ac

U
A

Ejemplo:
U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}
Ac= {1,2,5,8,9,10}

4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son
aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.
Notación: A - B ={x / x ∈A ∧ x ∉ B}

Gráficamente:
U
A

B

U
AB

U
A
B

Ejemplo:
C = {u, v, x, y, z}

D = {s, t, z, v, p, q}

C - D = {x, y, u}

5.- Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos
elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero
no en A.
Notación: A ∆ B= {x / x ∈ A ∧ x ∉ Β} ∪ {x / x ∉Α ∧ x ∈Β}
A ∆ B= ( A - B ) ∪ ( B -A )
Gráficamente:
AB
ΑAA

U

U
A

)
)
)

B

Ejemplo:
A= {1,3,4,5,6,7,20,30}

B={2,6,20,40,50}

A∆B= {1,3,4,5,7,30} ∪{2,40,50}
A∆Β= {1,2,3,4,5,7,30,40,50}
6.-Producto cartesiano: El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto de
todos los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento de A y como
segundo componente un elemento de B.
Notación: A x B =...