algebra

Clase 1. C´lculo Diferencial.
a
Orden en R
Objetivos:
(1) Establecer las propiedades b´sicas del orden en los reales.
a
(2) Qu´ es una desigualdad? Cu´l es la diferencia con una inecuaci´n?
ea
o
1. Axiomas de Orden en R
En muchas situaciones hablamos de mayor qu´, menor o igual qu´, etc. Es decir, comparae
e
mos cantidades. Para poder hacer esto, se necesitan reglas b´sicas deorden, lo que se conoce
a
como axiomas de orden. (Durante todo el transcurso de esta clase, daremos por sabido que los
alumnos conocen los n´meros reales.)
u
Axiomas de Orden:
(i) Si x e y sonpositivos, entonces x + y e xy tambi´n lo son.
e
(ii) Si x = 0, entonces x > 0 o bien x < 0.
(iii) El 0 no es positivo.
Parecen obvias, cierto?..... Estas son las reglas b´sicas con las que podemosconstruir todas las
a
desigualdades que conocemos. Aqu´ enumeramos algunas de las m´s usadas, las cuales pueden
ı
a
ser demostradas f´cilmente, teniendo en cuenta de que se define que x > y si x − yes positivo.
a
Theorem 1.1. Sean x, y, z, w ∈ R.
1. Si x < y , entonces x + z < y + z .
2. Si x < y e z < w, entonces x + z < y + w.
3. Si x < y e z > 0, entonces xz < yz .
4. Si x < y e z < 0,entonces xz > yz .
1
1
5. Si 0 < x < y entonces > .
x
y
2
6. Si x = 0, entonces x > 0.
Proof. Demostraremos la propiedad 6.
Si x > 0, por axioma (i) x · x = x2 > 0 y si x < 0 por propiedad 4(tarea: demostrarla), −x > 0
y nuevamente usando el axioma (i) se tiene que (−x) · (−x) = x2 > 0. Por la tanto, en cualquier
caso x2 > 0.
Tarea: Demostrar las otras.
Con estas propiedades y axiomaspodemos establecer muchas desigualdades. Por ejemplo:
Example 1.2. Demuestre que si a y b son reales positivos, entonces
ab
+ ≥ 2.
ba

2

Dem: Es equivalente probar que a/b + b/a − 2 ≥ 0, demodo que
ab
a2 + b2 − 2ab
(a − b)2
+ −2=
=
,
ba
ab
ab
lo cual es el cociente de n´meros positivos y por consiguiente positivo.
u
´
´
2. Que es una Inecuacion?
As´ como una ecuaci´n...