Algebra



Transformación lineal.

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa también en análisis matemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en generaluna variedad lineal.

En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Definición
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espaciosvectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes aV  y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:

1.
2.  donde k es un escalar.


Tipos
1. Monomorfismo: Si  es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleoes el vector nulo. 
2. Epimorfismo: Si  es sobreyectiva (suryectiva).
3. Isomorfismo: Si   es biyectiva (inyectiva y suryectiva)
4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).
Si 

 es una transformación lineal, entonces 

.En efecto

Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

Nótese que en realidadsolo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

Ejemplos
Ejemplo 1. 
Sea  ,  tal que  ,  .

Entonces  T es lineal,  ya que ,
y  por otro lado ,  .
Por lo tanto, vemos que .
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como.

Ejemplo 2.
Sea  ,  tal que ,

Entonces  T es lineal, ya que  
Estatransformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como .
Ejemplo 3.
Sea   , tal que  

 La traza de A, es decir, , la suma de los elementos de la diagonal.
Entonces  T  es lineal, ya que 

Ejemplo 4.
Sea  , tal que  
Entonces T es lineal, ya que:
 





Ejemplo 5.
Sea  , tal que   , la derivada de .

Entonces  T  es lineal ya que: 



Ejemplo6.
Sea  , el espacio vectorial de todas  las funciones continuas en un intervalo cerrado 

 y sea  .

 Tal que  .

Entonces  T  es lineal ya que: 

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:



Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )

Sea 

  un ángulo medido en radianes. Queremosaveriguar  cuál es la transformación    de ,  que gira cada vector  

 un ángulo , para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:




Distribuyendo y usando el hecho de que   y  
tenemos que: ,


Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación 

 tal que  

.
Esta transformaciónse llama la rotación por un ángulo 

 y es lineal, ya que:







Ejemplo 8.  (Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de  
que cada vector 

 lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector 



En una gráfica, vemos la situación como sigue:

 
 
 
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramentetenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:


Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:








 

Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de  

que a cada vector  lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x,...