algebra

CAP¶ITULO 1
NOCIONES ELEMENTALES DE LOGICA ¶
MATEMATICA ¶
Estudiaremos brevemente un lenguaje no contradictorio ni ambivalente que nos per-
mitir¶a introducirnos a la Matem¶atica: la L¶ogica Matem¶atica, que estudia las leyes que
regulan el razonamiento.
Por ¯nes did¶acticos la dividimos en
a) l¶ogica proposicional,
b) l¶ogica funcional.
1.1. LOGICA PROPOSICIONAL ¶
En la l¶ogicaproposicional consideraremos dos elementos b¶asicos: Proposiciones, Conec-
tivos.
1.1.1. Proposiciones
Son \frases" sobre las cuales podemos decidir, un¶³vocamente, sobre la verdad (V ) o
falsedad (F) de ellas.
As¶³ entonces, una proposici¶on es una frase que es V o F, no existiendo la posibilidad
de obtener ambas decisiones conjuntamente (Principio del tercero excluido).
Las proposiciones lasdenotamos por letras min¶usculas p, q, r, etc., que resumir¶an, en
si mismo, el signi¯cado particular que tengan al interior de una situaci¶on concreta.
Ejemplo 1.1.1.
1. \p" resumir¶a, al interior de ¶este ejemplo, a la proposici¶on: \Hoy es Martes 10 de
Mayo\, y denotamos p: \Hoy es Martes 10 de Mayo".
2. Las siguientes \frases" son proposiciones:
q : x + 4 = 9 y x = 5 (es V )
r : Si x esun n¶umero real, entonces su cuadrado es no negativo (es V ):
Observaci¶on 1.1.1. No son proposiciones los interrogativos y los imperativos.
1.1.2. Conectivos
S¶³mbolos que, junto con las proposiciones b¶asicas, nos permiten crear nuevas proposi-
ciones, son:
»: se lee \no",
^: se lee \y",
_: se lee \ y/o",
): se lee \: : : implica : : :" ¶o \si, : : : entonces, : : :",
,: se lee \: : :equivalente con : : :".
Observaci¶on 1.1.2. El conectivo \»" se usa antes de una proposici¶on, y los restantes
conectivos se usan entre dos proposiciones.
Ejemplo 1.1.2. Si p, q, r son proposiciones, entonces tambi¶en son proposiciones:
1. » p
2. p ^ q
3. p _ q
4. p ) q
5. p , q
6. p ^ (q _ r)
7. [(» p) ^ (q _ r)] ) q
1.1.3. Tablas de Verdad
Las proposiciones compuestas, es decir,aquellas que contienen al menos un conectivo,
tienen, naturalmente, un valor veritativo, y para las proposiciones compuestas b¶asicas ese
valor veritativo lo damos en las siguientes \tablas de verdad".CAP¶ITULO 1 NOCIONES ELEMENTALES DE LOGICA MATEM ¶ ATICA 3 ¶
Tabla de Verdad de la Negaci¶on (»)
Dada la proposici¶on b¶asica \p" , existe la negaci¶on de ella, denotada » p, que se lee
\no p",proposici¶on que tiene la siguiente tabla de verdad.
p » p
V F
F V
Observaci¶on 1.1.3. Es claro que el valor veritativo de » p es el contrario de p. Por ejemplo,
si \p" es
p: \Hoy llueve"
es verdadero entonces » p es
» p: \Hoy no llueve"
es falso.
Tabla de Verdad de la Conjunci¶on (^)
Dadas las proposiciones \p", \q", existe la conjunci¶on de ellas, denotada p ^ q, que se
lee \p y q",proposici¶on tal que su tabla de verdad es
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Observaci¶on 1.1.4. La conjunci¶on es verdadera s¶olo si las proposiciones que la componen
lo son.
Tabla de Verdad de la Disyunci¶on (_)
Dadas las proposiciones \p", \q" existe la disyunci¶on de ellas, denotada p _ q que se
lee \p o q", proposici¶on tal que su tabla de verdad es
p q p _ q
V V V
V F V
F V V
F F F4UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Observaci¶on 1.1.5.
1. La disyunci¶on es verdadera siempre, menos cuando las proposiciones que la compo-
nen son ambas falsas.
2. La disyunci¶on presentada es incluyente, es decir, admite como verdadera a la proposi-
ci¶on p _ q cuando ambas proposiciones que la componen lo son, sin embargo, si de-
seamos la disyunci¶on excluyente, ladenotamos pYq, en este caso, si las proposiciones
p, q son ambas verdaderas entonces p Y q es falsa.
Tabla de Verdad de la Implicaci¶on ())
Dadas las proposiciones \p", \q" existe la implicaci¶on de p con q, denotada p ) q,
que se lee \p implica q" o \si ocurre p, entonces ocurre q", proposici¶on tal que su tabla de
verdad es
p q p ) q
V V V
V F F
F V V
F F V
Observaci¶on 1.1.6. La...