Algebra

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o Centro de Alumnos de Ingenier´ 2009 ıa Preuniversitario de Ingenier´ ıa

´ Algebra Gu´ No 5 ıa

RAZONES Y PROPORCIONES 1. Raz´n o

Cuando comparemos 2 magnitudes mediante una divisi´n diremos que o esas 2 magnitudes se encuentran en una raz´n. Por ejemplo, sean a y b dos o cantidades, entonces una raz´n entre a y b es o a a : b = , y lo leeremos aes a b. b Ejemplo 1 Supongamos que se realiz´ una encuesta entre los j´venes entre o o 18 y 21 a˜os cuya conclusi´n es: ”1 de cada 5 j´venes est´ inscrito en el n o o a Registro Electoral”. Entonces, podemos decir que la raz´n entre los que votan o y el total de j´venes es 1 : 5. Tambi´n podemos decir que la raz´n entre los o e o que votan y los que no, es 1 : 4. Como vimos antes, ya que lasrazones son n´ meros racionales, entonces u podemos amplificarla y simplificarla como nosotros queramos mientras se mantenga la raz´n. o Ejemplo 2 Supongamos que queremos expresar los no votantes del ejemplo anterior con respecto al total. Entonces podemos hacerlo de todas estas formas 4 8 12 16 4k = = = = ... = . 5 10 15 20 5k Dentro de la PSU, hay muchas razones en los enunciados, por lo tanto, es vitalpoder manejarlas con facilidad. Veamos m´s casos. a Ejemplo 3 Las edades de 2 personas est´n en la raz´n 4 : 7. ¿Qu´ edad a o e tiene cada una si la diferencia de sus edades es de 15 a˜os? n Digamos que la primera persona tiene 4k a˜os, para alg´n k ∈ Z. Entonces, n u la segunda persona tendr´ 7k a˜os. Luego, como la diferencia de sus edades a n es 15 a˜os, entonces 15 = 7k−4k = 3k de dondepodemos concluir que k = 5. n Por lo tanto, las edades de las personas son 20 y 35 a˜os, respectivamente. n Ejemplo 4 Un angulo de 90o es dividido en 3 angulos que se encuentran ´ ´ en la raz´n 4 : 5 : 9, ¿Cu´l es la medida de los angulos? o a ´ Llamemos α, β y γ a los angulos. Digamos que α = 4k o , para alg´n k ∈ Z. ´ u Entonces, β = 5k o y finalmente γ = 9k o . Luego, como deben sumar 90o , entonces90 = 9k + 5k + 4k = 18k de donde podemos concluir que k = 10. Por lo tanto, las medidas de los angulos son 20 o , 25o y 45o , respectivamente. ´ 1

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2.

Proporciones

Cuando tengamos 2 razones igualadas diremos que tenemos una proporci´n entre ambasrazones. Por ejemplo, sean a, b, c y d cuatro magnituo des, entonces una proporci´n entre ambas razones es o a c = , y lo leeremos ”a es a b como c es a d”. b d Ejemplo 5 Se sabe que x es a 10 como 12 es a 15, entonces x =? Aplicando lo anterior, podemos resumir el problema en la igualdad 12 4 4 · 10 x = = ⇒x= = 4 · 2 = 8. 10 15 5 5

2.1.

Proporcionalidad Directa

Supongamos que vamos por lacarretera camino a Vi˜ a del Mar y siemn pre a 120 km/h. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia y el tiempo. Como sabemos, mientras m´s tiempo haya transcurrido desde a que partimos nuestro viaje, m´s distancia habremos recorrido, es decir, a a medida que aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera, el tiempo que falta para llegar disminuye a medida quedisminuye la distancia entre nosotros y Vi˜ a del Mar. n Esta relaci´n se conoce como proporcionalidad directa, si una variable o aumenta (disminuye), entonces la otra variable tambi´n aumenta (dismie nuye) en la misma proporci´n. o Ejemplo 6 En el ejemplo anterior, las variables distancia recorrida y el tiempo transcurrido podemos llevarlas a una tabla para analizar su proporcionalidad. Distancia (km)0 30 60 120 Tiempo (hr) 0 0, 25 0, 5 1

La clave de una proporcionalidad directa, es que la raz´n entre ambas variao bles se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de como cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. En el ejemplo del viaje, la constante es igual a 120 y es la definici´n o de velocidad que se estudia en F´ ısica. v= d = cte....