algebra

indice
4.1 Definición de serie
4.1.1 Serie finita
4.1.2 Serie infinita
4.2 serie numérica y convergencia prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy)
4.3 Serie de potencias
4.4 Radio de convergencia
4.5 serie de Taylor
4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
4.7 Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie deTaylor









4.1 DEFINICIÓN DE SERIE.
Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 + r3 + r4 + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términosde una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisismatemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.
Sumas parciales
La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta:
.
Muchas de las propiedadesgenerales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.




4.1.1 SERIE FINITA

A) Definición de Series Finitas
Serie finitas: Tienen un número limitado de términos.
Forma general de una serie:
SN  = ann =0 N  Σ= a 0+ a 1+ a 2+....+ a N  → Suma de N términos.
Si N  es finito, la suma (SN) también es finita
.Problema fundamental: ¿Qué pasa cuando N → ∞?Si SN  tiene un valor finito cuando N → ∞, se dice que la serie converge.

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos.
Las series convergen o divergen.
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge. Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es(convergente o divergente).



Series y Sucesiones
Sucesiones
Es un conjunto de términos formados por  una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).
Para simbolizar un término general se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.



 Ejemplos:





Serie:
Es la sumatoria de una sucesiónEjemplos:




Tipos de series:
Serie finitas: Tienen un número limitado de términos.
Series infinitas: el número de términos es ilimitado.
Series monótonas: son aquellas que mantienen una misma tendencia has el infinito
        Crecientes:   a1 < a2 < a3 <……< an (va aumentando término a término)
            Decreciente: a1 > a2 > a3 >……> an   (va disminuyendo término atérmino)




Ejercicios.

 


Serie Telescópica o desplegable:
Es aquella serie cuyo término de formación se puede representar por de la siguiente manera:


De una ecuación compleja en el denominador se lleva a dos más sencillas, por varios métodos:
Si es un polinomio  por el proceso de fracción simple, si una función logarítmica por sus propiedades.


Suma parcial
Para la...