algebra

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD CS. NATURALES MATEMATICA Y M.AMBIENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

CONJUNTOS ACOTADOS
Resumen
• Sea A ⊂ R . Sea x0 ∈ R , y0 ∈ R . Entonces :
i) y0se dice cota inferior de A si y0 ≤ a ∀ a ∈ A
ii) x0 se dice cota superior de A si x0 ≥ a ∀ a ∈ A
iii) La mayor de todas las cotas inferiores del conjunto A recibe el nombre de ´
ınfimo
delconjunto. Notaci´n : Inf (A)
o
iv) La menor de todas las cotas superiores del conjunto A recibe el nombre de supremo del conjunto. Notaci´n : Sup(A)
o
v) Si Inf (A) = M y adem´s M ∈ A entonces el m´
aınimo del conjunto A es M .
Notaci´n : M in(A) = M
o
vi) Si Sup(A) = N y adem´s N ∈ A entonces el m´ximo del conjunto A es N .
a
a
Notaci´n : M ax(A) = N
o
vii) Si A posee cotas inferioresentonces A se dice acotado inferiormente.
viii) Si A posee cotas superiores entonces A se dice acotado superiormente.
ix) Si A es acotado inferior y superiormente, entonces se dice que A es acotado.
•Axioma del supremo : Todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.

Ejercicios propuestos
1. Determinar, cuando existan, el conjunto de cotas inferiores, conjunto de cotas superiores, supremo,´
ınfimo, m´ximo, m´
a
ınimo, para los conjuntos dados. Indicar adem´s si el
a
conjunto es acotado
a)
b)
c)
d)
e)

A = {−3, 1, 2, 4, 5}
A = {4}
A = [2, 6]
A =] − 3, 0[
A =] − 2, 5]f)
g)
h)
i)
j)

A =]3, +∞[
A =] − ∞, 2]
A = [−1, 0]∪]1, 9[
A =] − 1, 0]∪]3, 11/3[
A = [0, 6] ∪ {9}

2. Determinar, cuando existan, el conjunto de cotas inferiores, conjunto de cotassuperiores, supremo, ´
ınfimo, m´ximo, m´
a
ınimo, para los conjuntos dados. Indicar adem´s si el
a
conjunto es acotado
a) S = {x ∈ R/x2 + 4x + 3 = 0}
b) S = {x ∈ R/x + 7 < 3}
c) B = {x ∈ R /x2 − 9≤ 0}
d ) B = {x ∈ R /x2 − 16 ≥ 0}
e) T = {y ∈ R/y 2 + y − 2 ≤ 0}
f ) T = {z ∈ R/|z + 2| ≤ 7}
g) T = {z ∈ R/|z − 2| ≥ 6}
x
h) C = {x ∈ R / x+3 ≤ 2}

i ) C = {x ∈ R / x−3 ≥ 2}
x+3
3. Dado...