algebra



INDICE

Transformación

Lineal………………………………………………………………………… 3

Rotación……………………………………………………………………. 7

Traslación…………………………………………………………………. 14

Vectores

Producto Escalar………………………………………………………… 16

Producto Vertical………………………………………………………… 17

Cálculo Tensorial

Matriz………………………………………………………………………. 18

Contracciones……………………………………………………………. 22Bibliografía....................................................................... 23


Transformaciones
LINEALES
Existe una clase especial de funciones llamada transformaciones  lineales, el cual se ven frecuentemente en el álgebra lineal.  Las mismas se aplican a las ciencias físicas, ciencias sociales, economía, comercio y en las ciencias de computadoras.
 
Se denomina transformación lineal a toda función, T,cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
1.
2.  donde k es un escalar.

Transformación lineal nula
 

Transformación lineal identidad
 
Homotecias
 con 
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones

Propiedades de las transformaciones lineales
1.
Núcleo (kernel)
Si  es lineal, se define el núcleo yla imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1.  dado que 
2. Dados 
3. Dados 
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

O sea que laimagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))


Teorema de las dimensiones
dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)
Teoremafundamental de las transformaciones lineales
Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal  Para todo 1 ≤  ≤ n

Clasificación de las transformaciones lineales
1. Monomorfismo: Si  es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es
el vector nulo. 
2. Epimorfismo: Si  essobreyectiva.
3. Isomorfismo: Si  es biyectiva.
4. Endomorfismo: Si  o sea si el dominio es igual al codominio.
5. Automorfismo: Si  es endomorfismo e isomorfismo a la vez.
Para que una transformacion lineal sea invertible debe de ser un isomorfismo, para lo que se requiere que el núcleo debe ser igual al vector nulo del codominio ({Ow}).
Matriz asociada a una transformación lineal
Sea  unatransformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal 
Sean A y B dos conjuntos arbitrarios.  Suponga que a cada  a є A se le asigna un único elemento de B, la colección f de tales asignaciones se llama una función de A en B y se representa de la forma f: A → B.  Escribimos f(a) para representar el elemento de B que f le asigna a a є A, a este elemento se le llama laimagen de a por f.  El conjunto de todas las imágenes, esto es, f(A) se llama la imagen de f.  Además, A es el dominio de la función f: A → B y B es el campo de valores (recorrido).
 
A cada función  f: A → B  le  corresponde  el  subconjunto de  A x B  dado por {(a, f(a))│a є A}.  Llamamos a este conjunto la gráfica de f.

Ejemplo: Sea f: R → R la función que le asigna a cada número real x sucuadrado x2, esto es, f(x) = x2.   La imagen de  -3  es  9  se expresa de la forma f(-3) = 9.
 
Definición: Sean V, W espacios vectoriales.  Una transformación lineal T de V a W es una función que le asigna a cada vector v en V un único vector Tv є W y que satisface para cada u, v є V y para cada escalar α:
 
T( u + v) = Tu + Tv
T(αv) = αTv
 
Notación: Escribimos T: V → W para...