ALGEBRA

fÉSI

PROBLEMA RESUELTO 3.5
Sobre el cubo de lado a achia una fuerza P, como se muestra en la figura.
Determine el momento de P: a) con respecto a A, b) con respecto a la arista
AB y c) con respecto a la diagonal AG del cubo; d) con el resultado del in­
ciso c), determine la distancia perpendicular entre AG y FC.

mm
SOLUCIÓN
a ) Momento con respecto a A. Al seleccionar los ejes x, i¡ yz como
se muestra en la figura, la fuerza P y el vector rp/A AF, trazado desde A
hasta el punto de aplicación F de P, se descomponen en sus componentes
rectangulares.
rF/A = a i - aj = a(i - j)
P = (P/V 2)j - (P/V 2)k = (P/V2)(j - k)

El momento de P con respecto a A es igual a
Ma = rF/A X P = a(i - j)
b ) Momento con respecto a AB.
escribe

X

(P/V2)( j - k)
Ma = (aP/\'2)(i + j +k)

<

Proyectando a Ma sobre AB, se

Mas = i • M., = i • (aP/V 2)(Í + j + k)

Mab = a P /V 2

<

Se verifica que, como AB es paralela al eje x, MA también es la compo­
B
nente del momento MA.
c) Momento con respecto a la diagonal AG. El momento de P
con respecto a AG se obtiene proyectando a Ma sobre AG. Denotando con
X el vector unitario a lo largo de AG, se tiene
AG
ai —ai—ak
, r3
=(l/V3)(i-j-k)
AG
aV 3
Mac = X •Ma = (1 /V 5 )(i - j - k) ■(flP/V2)(i + j + k)

Mac = (aP/V6)(l
Método alternativo. El momento de P con respecto a AG también
se puede expresar en forma de determinante:
K

K
MA
g

~

*F/A

Fx

Í/F /A

¿ F /A

Fz

=

1/V3
a
0

-1 / V 3
—a

P /V 2

-1 / V 3
= -aP / V 6
0
-P / V 2

d)
Distancia perpendicular entre AG yFC. Primero se observa
que P es perpendicular a la diagonal AG. Esto se puede comprobar con el
producto escalart P •X y verificar que dicho producto es igual a cero:

jiji

P •X = (P/V2)(j - k) •(1/V3)(i - j - k) = (PV6)(0 - 1 + 1) = 0
Entonces, el momento MA puede ser expresado como -Pd, donde d es la
c,
distancia perpendicular desde AG hasta FC. (El signo negativo se usa puesto
quepara un observador ubicado en G, la rotación impartida al cubo por P
tiene el sentido del movimiento de las manecillas del reloj.) Recordando el
valor encontrado para MA en el inciso c), se tiene
c
Mac = ~Pd = -a P /V ñ

d = a /V ñ

<

R E S O L U C I Ó N DE P R O B L E M A S
EN F O R M A I N D E P E N D I E N T E

En los problemas correspondientes a esta sección, se aplicará elproducto escalar
o producto punto de dos vectores para determinar el ángulo form ad o p o r dos vec­
tores dados y para determ inar la proyección de una fu erza sobre un eje dado. Tam­
bién se utilizará el producto triple escalar de tres vectores para encontrar el mo­
mento d e una fu erza con respecto a un eje dado y para determ inar la distancia
perpendicular entre dos líneas.

1. Cálculo delángulo formado por don vectores dados. Primero se expresa
cada uno de los vectores en términos de sus componentes y se determinan las mag­
nitudes de los dos vectores. Después, se obtiene el coseno del ángulo buscado con
la división del producto escalar de los dos vectores entre el producto de sus respec­
tivas magnitudes [ecuación (3.32)].
2.

Cálculo de la proyección de un vector P sobre uneje dado OL. En ge­
neral, se comienza con la expresión en términos de sus componentes de P y del
vector unitario A que define la dirección del eje. Se debe tener cuidado de que \
.
tenga el sentido correcto (esto es, de que X esté dirigido desde O hasta L). Enton­
ces, la proyección buscada es igual al producto escalar P ■X. Sin embargo, si se co­
noce el ángulo 0 que forman P y X, laproyección también se puede calcular como
P cos 6.
3. Determinación del momento Molt de una fuerza con respecto a un eje
dado OL. Se definió a MO como
L
Mol = X •M0 = X •(r x F)

(3.42)

donde X es el vector unitario a lo largo de OL y r es el vector de posición desde cual­
qu ier punto sobre la línea O L hasta cualquier punto sobre la línea de acción de F.
Como fue el caso para el...