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MAT 200
Álgebra

DESARROLLO GUIA RESUMEN PRUEBA 3
1.

Un hombre desea ahorrar guardando 150 pesos el primer día, trescientos el
segundo, seiscientos el tercero y así sucesivamente.
a) Si continúa duplicando la cantidad guardada todos los días, ¿cuánto debe
guardar el decimo día?
DATOS: a1 = 150

; R = 2 (progresión geométrica) ;

a10 =?

DESARROLLO:
a n = a1 · R (n −1)
a10 = a1· R 9
a10 = 150 · 2 9 = $ 76.800
b) Suponga que no se le acaba el dinero, ¿cuál es la cantidad total ahorrada al
término de 25 días?
DATOS: a1 = 150

; R=2

;

S25 =?

DESARROLLO:
a · (R n − 1)
Sn = 1

(R − 1)

S 25 =

2.

150 · (2 25 − 1)
= $ 5.033.164.650
(2 − 1)

Una determinada bacteria se reproduce por bipartición cada 10 minutos, es
decir, cada bacteria se divide endos cada 10 minutos. ¿Cuántas bacterias hay
después de transcurridas 8 horas? ¿Y después de n horas?
DATOS:

a0 = 1 (cuando aún no ha transcurrido tiempo) ; R = 2

DESARROLLO:
8 horas = 8 — 60 = 480 minutos
480 : 10 = 48 (“cada 10 minutos”)

a 48 = a 0 · R

48

= 1· 2

48

=

a48 =? (al cabo de 8 horas)

2 4
8

(al cabo de 8 horas)

n horas = n — 60 = 60n minutos
60n :10 = 6n → a 6n = ? (al cabo de “n” horas)
2 6
6n
6n
a 6n = a 0 · R = 1 · 2 = n (al cabo de n horas)

1

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3.

Un Automóvil costó $5.200.000. Se calcula que al final de cada año sufre una
depreciación igual al 2% del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será
su valor al cabo de 15 años?
DATOS: a0= $5.200.000 (valor cuando aún no transcurre unaño, valor inicial)
Depreciación : 100% − 2% = 98% → 98 : 100 = 0,98 → R = 0,98

a15 = ?
DESARROLLO:
a15 = a 0 · R15

4.

= 5.200.000 · 0,9815 = $ 3.840.559

Una ciudad tiene 200.000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población
es 3% anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de treinta años?
DATOS: a0 = 200.000 (cantidad inicial de habitantes)
Tasa de crecimiento: 100% + 3% = 103%→ 103 : 100 = 1,03 → R = 1,03
a30 = ?
DESARROLLO:
a 30 = a 0 · R 30

5.

= 200.000 · 1,03 30 = 485.452 habitantes

Felipe depositó $ 1.800.000 en un banco a una tasa de interés del 1,3%
mensual. Al cabo de tres años, ¿cuál es la cantidad de dinero que tiene
depositada Felipe?
DATOS: a0 = 1.800.000 (valor inicial del monto)
Tasa de interés mensual: 100% + 1.3% = 101,3% → 101,3 : 100 =1,013
R = 1,013
a36 =? (nos preguntan por el monto al cabo de 3 años = 36 meses)
DESARROLLO:
a 36 = a 0 · R 36

= 1.800.000 · 1,013 36 = $ 2.865.580

2

2010 2

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FORMULAS DE SUMATORIAS ELEMENTALES

n

∑k =

k =1

n

∑ ak =

k =1

6.

n

n · (n + 1)
2

∑k2 =

k =1

a · (a n − 1)
(a − 1)

2

n

∑c = n · c

k =1

60

60

80

k=1b)

k=1

 60 · 61 · 121
 60 · 61
3·
−2·

6


 2 

=

=
=

221.430

80

80

k=1

∑( 3k 2 − 2k ) = 3 · ∑k 2 − 2 · ∑k

k=1

7.

 n · (n + 1) 
∑k3 =  2 


k =1

Calcule las siguientes sumatorias

60

a)

n

n · (n + 1) · (2n + 1)
6

k=1

k=1

∑ (5 k + 6 ) = ∑ 5 k + ∑ 6
=

− 3.660

5 · (5 80 − 1)
+ 80 · 6
(5 − 1)
=217.770

5 · (5 80 − 1)
+ 480
4

(se deja expresado, o de lo
contrario queda en notación
científica por ser un valor muy
grande)
1,03 — 1056

Calcule las siguientes sumatorias

∑ (k + k ) =
70

a)

3

k = 20

70

∑k

70

∑k3

+

k = 20

k = 20

19   70
19
 70

 ∑ k − ∑ k +  ∑ k 3 − ∑ k 3 
k = 1 k = 1  k = 1
k =1 

 

2
2
 70 · 71 19 ·20   70 · 71
 19 · 20  
= 
−
+ 
 −
 
2   2 
 2
 
 2  


=

= [2.485 − 190]
= 6.141.420

+ [6.175.225 − 36.100]

3

2010 2

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50

∑k +

50

50

50

∑k −

∑5

k + 5 k =10 k =10
k= 1
b) ∑
=
=
2
2
k =10

9

∑ k + 41 · 5

k=1

2

 50 · 51   9 · 10 

−
 + 205
1.275 − 45 + 205
 2   2 
=...