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Concepto de matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de unamatriz.
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Tipos de matrices
Matriz fila:
Es una matriz constituida por una sola fila.
Matrizcolumna:
Es una matriz con una sola columna.
Matriz rectangular:
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada:
La que tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1.
Matriz nula:
Todos los elementosson nulos.
Matriz triangular superior:
Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.
Matriz triangular inferior:
Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.
Matriz diagonal:
Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar:
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonalprincipal son iguales.
Matriz identidad o unidad:
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta:
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α · A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt  · At
Matriz regular:
Es aquella matrizcuadrada que tiene inversa.
Matriz singular:
Es aquella que no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente:
Si A2 = A.
Matriz involutiva:
Si A2 = I.
Matriz simétrica:
Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica:
Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=-At.
Matriz ortogonal:
Si verifica: A·At= I
Suma de matrices
Dadas dos matrices dela misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Propiedades
Interna:
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A
Elemento opuesto:A + (-A) = O
Conmutativa: A + B = B + A
Producto de un número realpor una matriz
Dada una matriz A=(aij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)
Propiedades
a ·  (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b
a  ·  (A+B) = a · A + a · B A,B Mmxn , a
(a+b) · A = a · A+b · A A Mmxn , a, b
1 · A = A A Mmxn
Producto de matrices
Dosmatrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Propiedades
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro:
A · I = A
No esConmutativa:
A · B ≠ B · A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
Matriz inversa
A · A-1  = A-1 · A = I
Propiedades
(A · B)-1  = B-1 · A-1
(A-1 ) -1  = A
(k · A)-1  = k-1 · A-1
(A t) -1  = (A -1) t
Cálculo por el método de Gauss.
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los...