Algebra

CAP´ ITULO 1 ´ NOCIONES ELEMENTALES DE LOGICA ´ MATEMATICA

Estudiaremos brevemente un lenguaje no contradictorio ni ambivalente que nos permitir´ introducirnos a la Matem´tica: la L´gica Matem´tica, que estudia las leyes que a a o a regulan el razonamiento. Por fines did´cticos la dividimos en a a) l´gica proposicional, o b) l´gica funcional. o

1.1.

´ LOGICA PROPOSICIONAL

En la l´gicaproposicional consideraremos dos elementos b´sicos: Proposiciones, Coneco a tivos. 1.1.1. Proposiciones

Son “frases” sobre las cuales podemos decidir, un´ ıvocamente, sobre la verdad (V ) o falsedad (F ) de ellas. As´ entonces, una proposici´n es una frase que es V o F , no existiendo la posibilidad ı o de obtener ambas decisiones conjuntamente (Principio del tercero excluido). Lasproposiciones las denotamos por letras min´sculas p, q, r, etc., que resumir´n, en u a si mismo, el significado particular que tengan al interior de una situaci´n concreta. o Ejemplo 1.1.1. 1. “p” resumir´, al interior de ´ste ejemplo, a la proposici´n: “Hoy es Martes 10 de a e o Mayo“, y denotamos p: “Hoy es Martes 10 de Mayo”. 1

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

2. Lassiguientes “frases” son proposiciones: q : x + 4 = 9 y x = 5 (es V ) r : Si x es un n´mero real, entonces su cuadrado es no negativo (es V ). u

Observaci´n 1.1.1. No son proposiciones los interrogativos y los imperativos. o 1.1.2. Conectivos

S´ ımbolos que, junto con las proposiciones b´sicas, nos permiten crear nuevas proposia ciones, son: ∼: se lee “no”, ∧: se lee “y”, ∨: se lee “ y/o”, ⇒: se lee“. . . implica . . .” ´ “si, . . . entonces, . . .”, o ⇔: se lee “. . . equivalente con . . .”. Observaci´n 1.1.2. El conectivo “∼” se usa antes de una proposici´n, y los restantes o o conectivos se usan entre dos proposiciones. Ejemplo 1.1.2. Si p, q, r son proposiciones, entonces tambi´n son proposiciones: e 1. ∼ p 2. p ∧ q 3. p ∨ q 4. p ⇒ q 5. p ⇔ q 6. p ∧ (q ∨ r) 7. [(∼ p) ∧ (q ∨ r)] ⇒ q1.1.3. Tablas de Verdad

Las proposiciones compuestas, es decir, aquellas que contienen al menos un conectivo, tienen, naturalmente, un valor veritativo, y para las proposiciones compuestas b´sicas ese a valor veritativo lo damos en las siguientes “tablas de verdad”.

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Tabla de Verdad de la Negaci´n (∼) o Dada la proposici´n b´sica“p” , existe la negaci´n de ella, denotada ∼ p, que se lee o a o “no p”, proposici´n que tiene la siguiente tabla de verdad. o p V F ∼p F V

Observaci´n 1.1.3. Es claro que el valor veritativo de ∼ p es el contrario de p. Por ejemplo, o si “p” es p: “Hoy llueve” es verdadero entonces ∼ p es ∼ p: “Hoy no llueve” es falso. Tabla de Verdad de la Conjunci´n (∧) o Dadas las proposiciones “p”, “q”,existe la conjunci´n de ellas, denotada p ∧ q, que se o lee “p y q”, proposici´n tal que su tabla de verdad es o p V V F F q V F V F p∧q V F F F

Observaci´n 1.1.4. La conjunci´n es verdadera s´lo si las proposiciones que la componen o o o lo son.

Tabla de Verdad de la Disyunci´n (∨) o Dadas las proposiciones “p”, “q” existe la disyunci´n de ellas, denotada p ∨ q que se o lee “p o q”,proposici´n tal que su tabla de verdad es o p V V F F q V F V F p∨q V V V F

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Observaci´n 1.1.5. o 1. La disyunci´n es verdadera siempre, menos cuando las proposiciones que la compoo nen son ambas falsas. 2. La disyunci´n presentada es incluyente, es decir, admite como verdadera a la proposio ci´n p ∨ q cuando ambas proposiciones que lacomponen lo son, sin embargo, si deo seamos la disyunci´n excluyente, la denotamos p q, en este caso, si las proposiciones o p, q son ambas verdaderas entonces p q es falsa.

Tabla de Verdad de la Implicaci´n (⇒) o Dadas las proposiciones “p”, “q” existe la implicaci´n de p con q, denotada p ⇒ q, o que se lee “p implica q” o “si ocurre p, entonces ocurre q”, proposici´n tal que su tabla de o verdad...