Algebra

PRODUCTOS NOTABLES

CONCEPTO
Son los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)

. (a  b)2 = a2  2ab + b2 .

Identidades de Legendre

• (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
• (a + b)2 – (a – b) = 4ab
• (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos:
•
• (a+ 5)2 – (a – 5)2 = 4a . 5 = 20a
•

2. Diferencia de Cuadrados

. a2 – b2 = (a + b) (a – b) .

Ejemplos:
• (x + 2) (x – 2) = x2 – 4
•
•
3. Binomio al Cubo

. .

. .

Ejemplo:
• (2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33
(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27
(2 + 3)3 = 125

4. Producto de Binomios con Término Común

. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .

5.Producto de Tres Binomios con Término Común

. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc .

. (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc .

6. Trinomio al Cuadrado

. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .

. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) .

7. Trinomio al Cubo

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c) (c + a) .

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc .

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc

8. Suma y Diferencia de Cubos

. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) .

. a3 – b3 = (a – b) (a2 – ab + b2) .

9. Identidades de Argan’d

. (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 .

. (x2 + xy + y2) (x2 – xy +y2) = x4 + x2y2 + y4 .

En general

. (x2m + xmyn + y2n) (x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n .

10. Identidades de Gauss

. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) .

. (a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac) .

11. Identidades Condicionales

Si . a + b + c = 0 . Se verifican:

. a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) .

. (ab +bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 .

. a3 + b3 + c3 = 3abc

Amigos son los que en las prosperidades acuden al ser llamados y en las adversidades sin serlo

Demetrio I

PROBLEMAS PARA LA CLASE


1. Reducir:

T= (x2+5x+5)2 - (x+1)(x+2) (x+3) (x+4)

Rpta.

2. Reducir:


Rpta.

3. Reducir:

E = (x2+x+3) (x2+x+7) +
(x2+x+2) (x2+x+8)

Rpta.

4. Reducir:E = (x–1) (x+1) (x+2) (x+4) + 2x (x+3)2

Rpta.

5. Reducir:

E = (x + 2)3 –(x + 3)(x + 2)
(x + 1) – x
Rpta.
6. Reducir:

(x + y - z) (x – y -z)- (x - z)2

Rpta.

7. Reducir:

(2x + 3)2–(2x + 1)2+(2x -3)2 (2x - 1)2-16

Rpta.

8. Simplificar:

E =


Rpta.

9. Si: m = 1998 y n =
Calcular:

E =


Rpta.
10.Si: x =
Calcular:

E =

Rpta.

11. Si: x + x-1 =

Calcular: E = x5 + x–5

Rpta.

12. Calcular el valor de:

E = ,

para:

x = + 1;

Rpta.

13. Calcular el valor numérico de:



para x = 20

Rpta.

9. Si: a + b + c = 6
a3 + b3 + c3 = 24
Calcular:
E = (a + b)(a + c)(b+c)

Rpta.

10. Si: a + b + c = 20
a2 + b2 + c2 = 300. Calcular:

E= (a + b)2+(a + c)2+(b + c)2

Rpta.

Generalmente, hombre risueños son sanos de corazón. La risa es la sal de la vida; la risa de un niño es como la loca música de la infancia. la alegría inocente se desborda en una catarata cristalina que brota a plena garganta. ¡Triste hogar es aquel donde no resuena la amable sonrisa infantil!

Rubén Darío
PROBLEMAS PARA LA CASA


1. ¿Cuál de lassiguientes proposiciones es incorrecta?

a. (x + )(x - )= x2 – x;  x > 0
b. (x + y)2+(x- y)2= 2(x2+ y2)
c. (x + a) (x + b) = x2 + abx + a + b
d. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y)
e. (x + y)2 – (x - y)2 = 4xy

a) I b) II
c) III d) IV
e) V

2. Reducir:

a) x + 3 b) x – 3
c) x + 27 d) x – 27
e) x – 9

3. Efectuar:

(x+y)2 (x2-xy+y2)2 – (x–y)2 (x2+xy+y2)2
a) 4x3y3...