Algebra

1. De la siguiente función

f(x) =

x √ x² + 1

a) Dominio = El Dominio de la función es Todos los Reales b) Rango = El Rango de la función es -1, 1

2) Dada las funciones f = x² + 1 ; g = 2x – 1 + 3x². Determine: La primera no es mas que la simple suma de las dos funciones: (f + g) = f = x² + 1 ; g = 2x – 1 + 3x² = 4x² + 2x La segunda es la multiplicación de una por otra: (f · g) = ( x²+ 1) * ( 2x – 1 + 3x²) = 3x4 + 2x³ + 2x² - 1

La tercera es hacer g sustituyendo las "x" por lo que vale f: (g o f) = 3 ( x² + 1 )² + 2 ( x² + 1 ) - 1 = 3(x 4 + x² + 1)+(2x²+ 2) - 1 (3x4 + 6x² + 3) + 2x²+ 1 3x4 + 6x² + 32x²+ 1 3x4 + 8x² + 4 La cuarta es hacer f sustituyendo las "x" por lo q vale g: (f o g) = ( 3x² + 2x -1 )² + 1 = ( 3x² – x + 3x – 1)² x (3x²/x – x/x) + (3x - 1) ² = (x ( 3x -1)+ (3x -1 ))² (3x -1) (x (3x -1/3x -1 + 3x -1/3x-1) ² = ((3x -1) ( x + 1))² (3X - 1) ² (X+1)²

3. Verifique las siguientes identidades: 1 = tang²x + cos²x sec²x 1 = tang²x + cos²x sec²x 1 = sen²xcos²x + cos²x cos²x 1= sen²x cos²x 1 cos²x sen²x + cos²x = 1 + cos²x

Efectuamos producto de medios y de extremos

(x · cos β + y . sen β)² + (y · cos β - x . sen β)² = x² + y² (x·cos β + y⋅sen β)² +(y·cos β - x⋅sen β)² = (x²·cos²β + 2·x·y·senβ·cosβ + y²·sen²β ) + ( y²·cos²β - 2·x·y·senβ·cosβ + x²·sen²β) = x² · cos²β + y² · sen²β + y² · cos²β + x² · sen²β = x² · cos²β + x² · sen²β + y² · sen²β + y² · cos²β = x² · (sen²β + cos²β ) + y² · (sen²β + cos²β) = x² + y²

4. Un tren sale de una estación y viaja a 80 km/h en vía recta. Otro tren sale de la misma estación una hora más tarde, sobreotra vía que forma con la anterior un ángulo de 118°.Si el segundo tren viaja a 50 km/h. Hallar la distancia entre los dos trenes 2 horas después de la salida del primer tren. Si el primer tren recorre 80 Km/h esto quiere decir que en dos horas recorrerá 160 Km. Si el segundo tren recorre 50 Km/h. Esto quiere decir que en una horas recorrerá 50 km dado que este salio una hora después que el primertren. Así la distancia que hay entre los dos trenes es de 210 Km en un análisis visual. 50Km Distancia entre los trenes 188,71km Tren dos
90º

Y 118º
62º

X¹

X

Tren uno

160 Km

1º.- El primer tren, a 80 km/h. habrá recorrido durante 2 horas... 80×2 = 160 kms. del punto de salida. Ya tenemos un lado del triángulo. 2º.- El segundo tren sale una hora más tarde que el primero y viaja a50 km/h. En éste sólo podemos contar una hora de desplazamiento puesto que nos pide la distancia entre los trenes DESPUÉS DE LA SALIDA DEL PRIMER TREN. Por tanto, este segundo tren se encontrará a 50 kms. del punto de salida en el momento de medir la distancia entre los dos. Ya tenemos otro lado del triángulo. Nos queda hallar el tercer lado que será la distancia que nos piden. Por tantoconocemos dos lados y el ángulo que forman. Con esos datos toca usar el teorema del coseno que dice: Siendo a,b,c, los lados de un triángulo y A,B,C, sus respectivos ángulos opuestos, se establece que: a² = b² + c² -2bc.(cos A) lado a = desconocido lado b = 160 kms. lado c = 50 kms.

ángulo A = 118º El coseno de 118º se convierte en el coseno negativo de 180-118 (por una de las propiedadestrigonométricas de ángulos suplementarios) es decir que será igual al -cos 62 el cual busco en tablas trigonométricas y dice que es igual a 0,4694, en nuestro ejercicio en negativo: -0,4694. a² = 160² + 50² -2(160x50)(cos118º) a² = 25600 + 2500 -2(8000)(-0,4694) 3755,2 a² = 28100 + 7510,4 a² = 35610,4 √ a² = √35610,4 a = 188,7071 km
5. Encuentre el valor de x que satisface las siguientes ecuaciones paraángulos entre 0° ≤ x ≤360°

a) 3 cos² x + sen² x =2

2cos²x + cos²x + sen²x = 2 2cos²x + 1 = 2 2cos²x = 2 – 1 = 2cos²x = 1 cos²x = ½ cosx = √½

X= arcsen√½ = 45º

b) 4cos² x – 2(1 +√2 )cos x + √2 = 0 cambio de variable: cos(x) = u => cos²(x) = u² sustituimos: 4u² - 2(1 +√2 )u + √2 = 0 ahora tenemos una ecuación de 2do grado en u, la cual podemos resolver utilizando la fórmula general: u =...