Algebra

CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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7.11.

EJERCICIOS

1. Discutir y, en su caso, resolver los sistema siguiente, dando la interpretaci´n geom´trica adecuada: o e     x + y + z = 0 6x + 4y + 2λz = 2 x − y = 5 x + y + z = 0     a) y + z = 2 b) λx + y − z = 2 c) ax + 2y = −3 d) kx + 2z = 0         2y + 2z = a 5x + 3y + 3z = 2λ 3x + y = 2 2x − y + kz = 0   x + my + z = 2 x − y + z = 1 x + y = 2    ax − y = 2 − a e) mx + 2z = 4 f) 2x + y + λz = λ g) h) 2x − y = 1    2x − (a + 1)y = 2    x+y+z = 2 x + y − λz = 0 3x + ay = 6 2. Resuelve y clasifica, usando el m´todo de Gauss: e  x − 2y − 3z = 3  a) 2x − y − 4z = 7   3x − 3y − 5z = 8 ¿C´mo se interpreta geom´tricamente la soluci´n? o e o  π1 ≡ 3x − y + 2z = −1  3. Dados losplanos: π2 ≡ mx − y = −6 + m   π3 ≡ x − z = 0 Calcular el valor del par´metro m para que los planos se corten en un punto y calcularlo. a 4. Una refiner´ compra petr´leo a dos pa´ ıa o ıses A y B. Comprando 500 barriles al pa´ A y 15500 ıs al pa´ B resulta un precio medio de 19’875 d´lares. comprando 1000 barriles al pa´ A y 1000 ıs o ıs al pa´ B el precio medio es de 18 d´lares por barril. ¿Cu´ntocuesta el barril de crudo en cada ıs o a pa´ ıs?. 5. Encontrar un polinomio de segundo grado que se verifique para los tres pares de valores: (0,3), (3,1) y (1,2). 6. Resuelva, clasifique e interprete geom´tricamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales. e   x − 2y − 3z = −2 Cambie la tercera ecuaci´n para que el sistema sea incompatible. 2x − 4y + z = −4 o   3x + y + z = 1 7. Un almac´ndistribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas A, B y C. La marca A e lo envasa en cajas de 250 gr. y su precio es de 1 û; la marca B lo envasa en cajas de 500 gr. a un e precio de 1’8 û y la marca C lo hace en cajas de 1kg. a un precio de 3’3 û. El almac´n vende a un cliente 2’5 kg de este producto por un importe de 8’9 û. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, se pide: a)Calcular cu´ntos envases de cada tipo se han comprado. a b) De qu´ tipo es el sistema de ecuaciones resuelto en el apartado anterior. e ıamos unos 8. Invirtiendo 10000 û en acciones de tipo A y 20000 en acciones de tipo B, obtendr´ intereses totales anuales de 2800 û, y si invertimos 20000 û en A y 10000 en B, obtenemos 2600 û. ¿Cu´les ser´ los intereses si se invirtiesen 30000 euros en A y 50000 enB? a ıan 9. Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la m´sica. entre los tres poseen un total u de discos compactos (Cd) comprendidos entre 16 y 22. Marcos presta 4 Cd a Miguel, Luis presta 1 Cd a Marcos y Miguel presta 2 Cd a Luis, con lo cual los tres amigos tienen ahora el mismo n´ mero de Cd. u ¿Cu´ntos Cd pueden tener en total? a  2x + y = 3  b) 4x − y = 3   −x + y = 3CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  x + y = 10000 10. a) Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2 x − y − 200 = 0 3 expresarlo en forma matricial AX = B, calcular la matriz inversa de A y resolverlo.

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b) Un tanque de un cami´n de 10000 litros de volumen se llen´ con agua procedente de dos o o dep´sitos de almacenamiento, A y B. El agua del dep´sito A se bombe´ a dichotanque a raz´n o o o o de 20 litros por minuto. el agua del dep´sito B se bombe´ a dicho tanque a raz´n de 30 litros o o o por minuto. Ambas operaron al mismo tiempo; sin embargo, a causa de un fusible fundido, la bomba A estuvo parada 10 minutos. ¿Cu´ntos litros de cada dep´sito de almacenamiento se utilizaron para llenar el tanque del a o cami´n?. o 11. Tres familias van a una helader´ La primerafamilia pide dos helados grandes, uno mediano ıa. y uno peque˜o; la segunda familia pide uno grande, dos medianos y dos peque˜os, y la tercera n n familia pide dos grandes y tres peque˜os. n a) Escribe una matriz 3x3 que exprese el n´mero de los helados grandes, medianos y peque˜os u n que pide cada familia. b) Si la primera, la segunda y la tercera familia han gastado en total en la helader´ 7, 8...