Algebra
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Publicado: 14 de mayo de 2010
Números primos, divisores y múltiplos
Si un número natural a divide a otro b, se dice que a es divisor de b y que b es múltiplo de a. Por ejemplo: 7 divide a 42, pues 7 42 = 6 8 divide a 24, pues 8 24 = 3 1 divide a 5, pues 1 5 = 5 7 es divisor de 42 y 42 es múltiplo de 7 8 es divisor de 24 y 24 es múltiplo de 3 1 es divisor de 5 y 5 es múltiplo de 1
El 1 es divisor de cualquier número ycualquier número es múltiplo de 1.
16 divide a 16, pues 16 16 = 1 16 es divisor de 16 y 16 es múltiplo de 16
Todo número es divisor de sí mismo y múltiplo de sí mismo.
Un número es divisible entre otro cuando lo contiene exactamente un número entero de veces. En otras palabras si un número divide a otro número, el cociente debe ser exacto. Definición. Sean a y b dos números enteros. Decimos quea divide a b si existe un entero c tal que b = (a)(c) Esto equivale a decir, que b es múltiplo de a. O que la división b ÷ a no deja residuo.
Un número tiene muchos múltiplos, por ejemplo:
de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, … de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, …
Como nunca terminaría de contarse de 5 en 5 o de 9 en 9, ambas listas son infinitas. Por lo tanto, podemos decir que el número de múltiplosde cualquier número es infinito.
Por el contrario, el número de divisores es limitado, por ejemplo:
de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48 de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 de 17: 1 y 17
Todos son conjuntos finitos. De manera que el número de divisores de cualquier número es finito.
¿Habrá más números naturales, que como el 17, sólo tengan 2 divisores? ¿Cuántos divisores tienenlos siguientes números: 13, 21, 19, 64 y 1?
El 13 tiene dos divisores: 1 y 13 El 21 tiene cuatro: 1, 3, 7 y 21 El 19 tiene dos: 1 y 19 El 64 tiene siete: 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64 El 1 sólo tiene un divisor: él mismo. Los números naturales que tienen exactamente dos divisores (el 1 y el propio número) se llaman números primos. Cuando tienen más de dos divisores se llaman números compuestos. Elnúmero 1 es el único número natural que no es primo ni compuesto. Por tanto podemos concluir que los números naturales se dividen en:
Factorización en primos de un número natural Factorizar consiste, entonces, en descomponer un número en una multiplicación de sus factores. Este proceso se conoce con el nombre de factorización. Consideremos los siguientes ejemplos. Recuerda que para lafactorización, puedes ayudarte de los criterios de divisibilidad.
48 = 2 x3 x8 48 = 3 x16 48 = 6 x8 48 = 12 x 4
Análogamente
o bien
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x3 = 24 x3
90 = 2 x5 x9 90 = 9 x10 90 = 5 x18
o bien
90 = 2 x3 x3 x5 = 2 x32 x5
Un número compuesto se puede descomponer como producto de dos o más números de varias formas, pero siempre hay una, en que todos los factores son números primos,y además esta forma de descomponerlos es única. Este hecho es tan importante que recibe el nombre de teorema fundamental de la Aritmética.
Teorema fundamental de la Aritmética. Todo número compuesto se puede descomponer, de manera única salvo el orden, como producto de números primos. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces.
Se puede considerar que los números primos son los“ladrillos” con los que se construye cualquier número natural. El procedimiento que se sigue es ir probando primo por primo para determinar cuáles de ellos dividen, considerando que un primo se puede repetir en la descomposición. Ejemplo 1: hagamos la descomposición del número 34 en sus factores primos. • Primero se analiza si el 28 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, sino entre 5 yasí sucesivamente. El 28 es divisible entre 2 porque la última cifra es par El 14 es divisible entre 2 porque la última cifra es par El 7 es primo, sólo se puede dividir entre sí mismo y la unidad, y nos interesa dividirlo entre sí mismo. 28/ 2 = 14 14/ 2 = 7 7/7 = 1
Cuando se llega al uno se termina la factorización.
Así, el 28 queda expresado en factores primos de la siguiente...
Si un número natural a divide a otro b, se dice que a es divisor de b y que b es múltiplo de a. Por ejemplo: 7 divide a 42, pues 7 42 = 6 8 divide a 24, pues 8 24 = 3 1 divide a 5, pues 1 5 = 5 7 es divisor de 42 y 42 es múltiplo de 7 8 es divisor de 24 y 24 es múltiplo de 3 1 es divisor de 5 y 5 es múltiplo de 1
El 1 es divisor de cualquier número ycualquier número es múltiplo de 1.
16 divide a 16, pues 16 16 = 1 16 es divisor de 16 y 16 es múltiplo de 16
Todo número es divisor de sí mismo y múltiplo de sí mismo.
Un número es divisible entre otro cuando lo contiene exactamente un número entero de veces. En otras palabras si un número divide a otro número, el cociente debe ser exacto. Definición. Sean a y b dos números enteros. Decimos quea divide a b si existe un entero c tal que b = (a)(c) Esto equivale a decir, que b es múltiplo de a. O que la división b ÷ a no deja residuo.
Un número tiene muchos múltiplos, por ejemplo:
de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, … de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, …
Como nunca terminaría de contarse de 5 en 5 o de 9 en 9, ambas listas son infinitas. Por lo tanto, podemos decir que el número de múltiplosde cualquier número es infinito.
Por el contrario, el número de divisores es limitado, por ejemplo:
de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48 de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 de 17: 1 y 17
Todos son conjuntos finitos. De manera que el número de divisores de cualquier número es finito.
¿Habrá más números naturales, que como el 17, sólo tengan 2 divisores? ¿Cuántos divisores tienenlos siguientes números: 13, 21, 19, 64 y 1?
El 13 tiene dos divisores: 1 y 13 El 21 tiene cuatro: 1, 3, 7 y 21 El 19 tiene dos: 1 y 19 El 64 tiene siete: 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64 El 1 sólo tiene un divisor: él mismo. Los números naturales que tienen exactamente dos divisores (el 1 y el propio número) se llaman números primos. Cuando tienen más de dos divisores se llaman números compuestos. Elnúmero 1 es el único número natural que no es primo ni compuesto. Por tanto podemos concluir que los números naturales se dividen en:
Factorización en primos de un número natural Factorizar consiste, entonces, en descomponer un número en una multiplicación de sus factores. Este proceso se conoce con el nombre de factorización. Consideremos los siguientes ejemplos. Recuerda que para lafactorización, puedes ayudarte de los criterios de divisibilidad.
48 = 2 x3 x8 48 = 3 x16 48 = 6 x8 48 = 12 x 4
Análogamente
o bien
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x3 = 24 x3
90 = 2 x5 x9 90 = 9 x10 90 = 5 x18
o bien
90 = 2 x3 x3 x5 = 2 x32 x5
Un número compuesto se puede descomponer como producto de dos o más números de varias formas, pero siempre hay una, en que todos los factores son números primos,y además esta forma de descomponerlos es única. Este hecho es tan importante que recibe el nombre de teorema fundamental de la Aritmética.
Teorema fundamental de la Aritmética. Todo número compuesto se puede descomponer, de manera única salvo el orden, como producto de números primos. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces.
Se puede considerar que los números primos son los“ladrillos” con los que se construye cualquier número natural. El procedimiento que se sigue es ir probando primo por primo para determinar cuáles de ellos dividen, considerando que un primo se puede repetir en la descomposición. Ejemplo 1: hagamos la descomposición del número 34 en sus factores primos. • Primero se analiza si el 28 es divisible entre 2. Si no es posible, entonces entre 3, sino entre 5 yasí sucesivamente. El 28 es divisible entre 2 porque la última cifra es par El 14 es divisible entre 2 porque la última cifra es par El 7 es primo, sólo se puede dividir entre sí mismo y la unidad, y nos interesa dividirlo entre sí mismo. 28/ 2 = 14 14/ 2 = 7 7/7 = 1
Cuando se llega al uno se termina la factorización.
Así, el 28 queda expresado en factores primos de la siguiente...
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