algebra




Algebra

Sucesiones y Series

12/12/2012

Hugo Sánchez
Gabriel Onofre
Daniel Rodríguez

Contenido
1.- Sucesiones, concepto, limite y convergencia, sucesiones monótonas y acotadas.
2.- Series, definición, convergencia, propiedades, adición y multiplicación y serie geométrica.
3.- Series de términos positivos serie (p) criterio de cociente.
4.- Series de signos alternados,definición, criterio de Leibniz.
5.- Series de potencias, definición.
6.- Desarrollo de funciones en serie de potencias, series de Taylor y Maclaurin.














1.- Sucesiones, concepto, limite y convergencia, sucesiones monótonas y acotadas.
Concepto
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Una sucesión {an} tiene comolimite el numero 1, si para todo numero positivo ε se puede hallar un numero positivo N en que puede depender de ε tal que | an -1| < ε para todo entero n > N. En tal caso se escribe lim an = 1
Si el límite de una secesión existe, entonces la secesión es convergente, si no existe se llama divergente.
Si todos los términos de una sucesión an son menores o iguales a un número M, esto es:
an ≤ Mpara todo n.
Entonces se dice que la sucesión an esta acotada superiormente y M se dice que es cota superior de la sucesión. De igual manera, si todos los términos de una sucesión son mayores o iguales a un número m, esto es:
An ≥ m para todo n
Entonces se dice que la sucesión está acotada inferiormente y m se le conoce como cota inferior de la sucesión
Si para todos los términos de unasucesión se cumple que el término n más uno es mayor, o igual que la n, esto es:
An+1 ≥ an
Entonces la sucesión se llama monótona creciente, si se cumple el mayor estricto:
An+1 > an
Entonces se llama estrictamente creciente. Análogamente si para todos los términos de una sucesión se cumple que el término n más uno es menor, o igual, que la n, esto es:
An+1 ≤ an
Entonces la sucesión se llamamonótona decreciente, si se cumple el menor escrito:
An+1 < an
Entonces se llama estrictamente decreciente.




2.- Series, definición, convergencia, propiedades, adición y multiplicación y serie geométrica.
Series
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelenescribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10



Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24
Convergencia
Una serie es convergente cuando la sucesión de sumas parciales tiene límite finito.
Propiedades de las series
Propiedadasociativa
En toda serie se pueden sustituir varios términos por su suma efectuada, sin que varíe el carácter ni la suma de la serie.
Nota:
a. La propiedad asociativa no es válida en series oscilantes.
b. La propiedad disociativa no es válida para series convergentes o divergentes.
Propiedad distributiva
H) Σ an converge y su suma es S
T) Σ kan converge y su suma es kS
Demostración:Sn = Σ an
Tn = Σ kan
lim Sn = lim a0 + a1 + ... + an = S
lim Tn = lim ka0 + ka1 + ... + kan = lim k (a0 + a1 + ... + an) = kS
=> Σ kan converge y su suma es kS.
De manera análoga:
Si Σ an diverge, Σ kan también diverge.
Si Σ an es oscilante, Σ kan también es oscilante.
Propiedad aditiva
H) Sean Sn = Σ an y Tn = Σ bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente.
T) Laserie Σ an+bn es convergente y su suma es S + T.
Demostración:
El término n-ésimo de la serie Σ an+bn es Sn + Tn
lim Sn + Tn = lim Sn + lim Tn = S + T (por límite de una suma de sucesiones)
=> Σ an+bn converge a S+T
Propiedad de linealidad
H) Sean Sn = Σ an y Tn = Σ bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente, y sean h y k dos constantes.
T) La serie Σ kan+hbn es convergente y...