Algebra

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamadasuma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
A los elementos de un espacio vectorial se lesllama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
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Notaciones
* Sea  un espacio vectorial sobre un cuerpo .
Los elementos:
 se llaman vectores.
Los vectores se representan en negrita en los textos impresos, siendo esta la tendencia actual, si bien en bibliografía antigua o en escritos a mano, se suelen representar bajo una línea continua, entextos de matemáticas:

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Estos tipos de notaciones pueden verse al consultar bibliografía.
Los elementos:
 se llaman escalares.
Y se representan en letra cursiva.
Sea cual sea la forma de representar los vectores, en ningún caso, deben confundirse vectores y escalares, dada la diferencia entre estos dos conceptos, y lasdistintas operaciones que se realizan entre ellos.
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Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones:

Con la operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa,es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad:

6) tenga elemento neutro 1:

Que tenga la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:

8) distributiva por la derecha:

Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamosque el neutro no es único, es decir, sean  y  dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean  y  dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento  en el cuerpo K:
supongamos que 1 no es único, es decir, sean  y  dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso enel cuerpo K:
supongamos que el inverso a − 1 de a, no es único, es decir, sean  y  dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si .
* Si a=0 es cierto.
* Si  entonces:
.
Signos equivalentes:
*  .
Notación

Ejemplos
Dado el espacio vectorial R2, una base del mismo (e1, e2) y lade su dual , se introduce un cambio de base en la siguiente forma:

Obtener la base dual de (v, w) en función de la .

RESPUESTA DEL EJERCICIO 1

Para obtener la base dual de la dada tenemos:

y análogamente:

Se comprueba que la matriz de paso de  a  es la inversa de la matriz de paso de (e1, e2) a (v,w).
Un endomorfismo de R3 en las bases canónicas viene dado por la matriz:

Obtenerla matriz referida a la base (1,1, 2), (0, 2, 1), (0, 0, 5)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 4

La matriz de un endomorfismo depende de la base elegida, es decir, que si un operador tiene una matriz T en la base (e1, e2, …, en) entonces su matriz en otra base (u1, u2, …, un) es S-1.T.S, siendo S una matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la nueva base respecto de la antigua. Ennuestro caso, la matriz T viene dada respecto a la base canónica, por lo que tendremos:

Ya partir de ahí :

Base

Una base de un espacio vectorial es un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes.

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y ese número se llama dimensión del espacio vectorial.

Todo espacio vectorial tiene,...