Algebra

CAPÍTULO 1

ELEMENTOS DE ARITMÉTICA 1.1 Razones y Proporciones1.1.1.Definición. Se llama razón de dos números enteros, al cociente de la división del primero por el segundo.Ejemplo: La razón de 15 a 5 es 15/5=3.

Ejemplo: La razón de 4 a 20 es 4/20=1/5. Los números que se comparan se llaman términos de la razón.
1.1.2.Definición. Dos razones son inversas, cuando los términos de una sonlos mismos de la otra, pero dispuestos en orden inverso.Ejemplo: 5/4 y 4/5 son razones inversas. Ejemplo: 2/3 y 3/2 son razones inversas.
1.1.3Definición. Se llama proporción la expresión de la igualdad de dos razones.

Ejemplo: 15/3=20/4, en que cada razón es igual a 5.
1.1.4.Definición. Dada la proporción a/b=c/d donde a , b , c , d son números enteros; a y d se llaman extremos de laproporción, b y c se llaman medios de la proporción. Hay que hacer notar que en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. La proporción a/b=c/d se puede escribir alternativamente de la forma siguiente: a : b :: c : d y se lee: a es a b como c es a d .
1.1.5.Definición. Dos magnitudes variables son directamente proporcionales cuando haciéndose una deellas 2,3,4….,m veces mayor o menor, la otra se hace también 2,3,4,….,m veces mayor o menor.Ejemplo: El salario de un obrero y la duración de su trabajo .

Ejemplo: El camino recorrido por un móvil que marcha siempre con igual velocidad, y el tiempo.
1.1.6.Definición. Dos magnitudes variables son inversamente proporcionales cuando, haciéndose la primera 2, 3, 4, ….. m veces mayor o menor, lasegunda se hace también 2, 3, 4, ..., m veces menor o mayor.Ejemplo : El número de obreros y el tiempo que emplean en ejecutar un trabajo dado.

Ejemplo: La velocidad de un tren y el tiempo empleado para recorrer un espacio dado.
1.1.7.Definición. Se llama regla de tres un problema en que, dados los valores correspondientes de varias magnitudes directa o inversamente proporcionales, setrata de buscar una de ellas, cuando se conocen todas las demás.Es decir, REGLA DE TRES es una operación por medio de la cual se busca el cuarto término de una proporción, de la cual se conocen los otros tres.
Ejemplo 1 : Un ciclista recorre 150 kms. en 5 horas. Cuántos recorrerá en 7 horas?Solución Disposición de los datos |
150 kms. | 5 horas |
x | 7 horas |
Ya que las horas y loskilómetros son magnitudes directamente proporcionales tenemos la proporción: 150/x= 5/7 osea x= 150*7/5= 210 kms
Ejemplo 2: Si 12 obreros se tardan 30 días en acabar una obra. Cuántos obreros se necesitarán para acabar la misma obra en 24 días?Solución Disposición de los datos |
12 obreros | 30 días |
x | 24 días |
Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, tenemoslas siguiente proporción.12/x = 24/ 30 osea x= 12*30/24=15 obreros
Ejemplo 3: Para hacer 180 mts de una obra, 15 obreros han trabajado 12 días, a razón de 10 horas por día. Cuántos días de 8 horas necesitarán 32 obreros, para hacer 600 mts de la misma obra?Solución Disposición de los datos |
15 obreros | 10 horas | 180 mts. | 12 días |
32 obreros | 8 horas | 600 mts. | x |
a)Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos x1 los días que necesitarán los 32 obreros para hacer el trabajo, en el supuesto de que las demás magnitudes queden fijas. O sea: 15 obreros | 12 días |
32 obreros | x1 |
ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, se tiene:15/32 = x1/12; x1= 12*15/32 dias b) Conocido el número de días x1 que necesitan 32 obrerospara hacer 180 mts de una obra, trabajando 10 horas diarias, consideremos el número de días que se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea x2 el número de días de 8 horas. O sea: 10 horas | x1 días |
8 horas | x2 |
ya que las razones son inversas, se tendrá:10/8=x2/x1X2=x1*10/8; por tanto x2= (12*15/32)*(10/8)c) Por fin, si comparamos los días con la cantidad de...